ciąg
: 15 lut 2010, 20:14
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym \(=a_n= \frac{2n+1}{2}- \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+1}\) Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
\(1+3+5+...+2n-1=\frac{1+2n-1}{2}\cdot\ n=n^2\)
\(a_n=\frac{2n+1}{2}-\frac{n^2}{n+1}=\frac{(2n+1)(n+1)-n^2}{2(n+1)}=\frac{n^2+3n+1}{2(n+1)}\\a_{n+1}=\frac{(n+1)^2+3(n+1)+1}{2(n+2)}=\frac{n^2+5n+5}{2(n+2)}\\a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+5n+5}{2(n+2)}-\frac{n^2+3n+1}{2(n+1)}=\frac{(n+1)(n^2+5n+5)-(n+2)(n^2+3n+1)}{2(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+3n+3}{2(n+1)(n+2)}\)
\(n^2+3n+3=0\\\Delta=9-12<0\)
Licznik ułamka oraz mianownik ułamka mają wartości dodatnie dla każdej dodatniej naturalnej liczby n. Czyli dla każdego naturalnego n jest: \(a_{n+1}-a_n>0\). Ciąg jest więc rosnący.