forum.zadania.info

Przed rozpoczęciem spotkania samorządu szkolnego każdy z 5 uczniów wchodzących w jego skład uściskał dłonie wszystkim innym uczniom z samorządu. Ile wykonano uścisków dłoni?

Każdy uścisk jest wyznaczony przez parę, która go wymienia. Uścisków jest zatem tyle, na ile sposobów możemy wybrać parę z 5 osób, a więc \({5\choose2}\).

Nie spojrzałem, że zadanie pojawiło się w dziale "Gimnazjum", w którym ma się prawo nie wiedzieć o symbolu Newtona. W takim razie inaczej:
Najpierw wybieramy pierwszą osobę do uścisku. Możemy to zrobić na 5 sposobów. Do każdej z tych 5 osób mamy do wyboru 4 osoby, z którymi uściśnie dłoń ta pierwsza wybrana. Łącznie wychodzi \(5\cdot4=20\) wyborów obu osób. Pojawia się tu jednak pewien problem. Jeśli najpierw wybierzemy osobę \(A\), a potem osobę \(B\), to przecież będzie to ten sam uścisk co w wypadku, w którym najpierw wybierzemy osobę \(B\), a później \(A\). W takim razie przy naszym sposobie liczenia każdy uścisk został policzony dwukrotnie. Wynik należy zatem podzielić przez \(2\).