1. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego ma długość 10, a tangens najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy 1/3. Oblicz długość krótszej przyprostokątnej.
2. Wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok AB ma długość 4 i tworzy z bokiem BC kąt o mierze 45st oraz z bokiem AC kąt o mierze 60st. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
3. Wyznacz miarę kąta ostrego alpha wiedząc, że liczba sin alpha jest rozwiązaniem równania 2x^2 - 7x +3=0
4. Wiedząc, że tg^2 alpha +1=1/cos^2 alpha
5. Dane jest koło o promieniu 12. Poprowadzono cięciwę odległą od środka koła o 6 pierw z 3. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na tej cięciwie.
Proszę o pomoc i z góry bardzo dziękuję:)
trygonometria, kąty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
a,b- przyprostokątne, 10- przeciwprostokątna
\(\frac{a}{b}=\frac{1}{3} \Rightarrow b=3a\\z^2+b^2=10^2\\a^2+(3a)^2=100\\10a^2=100\\a=\sqrt{10}\\b=3\sqrt{10}\)
krótsza p0rzyprostokątna ma długość równa \(\sqrt{10}\).
2.
Wysokość opisana w zadaniu nazwałam CD.
\(\frac{|AD|}{4}=tg60^o\\|AD|=4\sqrt{3}\\\frac{4}{|AC|}=cos60^o\\|AC|=8\\\frac{|DB|}{4}=tg45^o\\|DB|=4\\\frac{4}{|BC|}=cos45^o\\|BC|=4\sqrt{2}\)
Obwód;
\(Ob=8+4\sqrt{2}+4+4\sqrt{3}=4(3+\sqrt{2}+\sqrt{3})\)
a,b- przyprostokątne, 10- przeciwprostokątna
\(\frac{a}{b}=\frac{1}{3} \Rightarrow b=3a\\z^2+b^2=10^2\\a^2+(3a)^2=100\\10a^2=100\\a=\sqrt{10}\\b=3\sqrt{10}\)
krótsza p0rzyprostokątna ma długość równa \(\sqrt{10}\).
2.
Wysokość opisana w zadaniu nazwałam CD.
\(\frac{|AD|}{4}=tg60^o\\|AD|=4\sqrt{3}\\\frac{4}{|AC|}=cos60^o\\|AC|=8\\\frac{|DB|}{4}=tg45^o\\|DB|=4\\\frac{4}{|BC|}=cos45^o\\|BC|=4\sqrt{2}\)
Obwód;
\(Ob=8+4\sqrt{2}+4+4\sqrt{3}=4(3+\sqrt{2}+\sqrt{3})\)
3.
\(2x62-7x+3=0\\\Delta=25\\\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{1}{2} \vee x_2=3\\\alpha \in (0,\ 90^o)\ \Rightarrow 0< sin\alpha<1\\sin\alpha=\frac{1}{2}\\\alpha=30^o\)
4.
\(P=\frac{1}{cos^2\alpha}\\L=tg^2\alpha+1=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}+1=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{1}{cos^2\alpha}\\L=P\)
\(2x62-7x+3=0\\\Delta=25\\\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{1}{2} \vee x_2=3\\\alpha \in (0,\ 90^o)\ \Rightarrow 0< sin\alpha<1\\sin\alpha=\frac{1}{2}\\\alpha=30^o\)
4.
\(P=\frac{1}{cos^2\alpha}\\L=tg^2\alpha+1=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}+1=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{1}{cos^2\alpha}\\L=P\)
5.
Nazwij tę cięciwę AB, środek okręgu O. Trójkąt ABO jest trójkątem równoramiennym, w którym ramiona mają długość 12, kąt między ramionami to kąt \(\alpha\), którego miarę mamy obliczyć, a wysokość poprowadzona na podstawę AB tego trójkąta to odległość cięciwy od środka okręgu. Wysokość ta dzieli na połowy kąt \(\alpha\).
\(cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\0^o<\frac{\alpha}{2}<90^o \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=30^o\\\alpha=60^o\)
Nazwij tę cięciwę AB, środek okręgu O. Trójkąt ABO jest trójkątem równoramiennym, w którym ramiona mają długość 12, kąt między ramionami to kąt \(\alpha\), którego miarę mamy obliczyć, a wysokość poprowadzona na podstawę AB tego trójkąta to odległość cięciwy od środka okręgu. Wysokość ta dzieli na połowy kąt \(\alpha\).
\(cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\0^o<\frac{\alpha}{2}<90^o \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=30^o\\\alpha=60^o\)