forum.zadania.info

Niech n>=5 będzie liczba naturalną . Rozważmy n-wyrazowe ciągi o wyrazach A,B,C,D,E,F. Ile jest wszystkich takich ciągów, w których:
a)każde dwa kolejne wyrazy są różne
b) występują co najwyżej dwa różne wyrazy
c)każde pięć kolejnych wyrazów jest różnych

a)

Wszystkich ciągów jest \(6^n\)

Wśród nich te które mają własność 'każde dwa kolejne wyrazy są różne ' zliczamy tak:

na pierwszym miejscu mamy \(6\) możliwości, na drugim \(5\), na trzecim znowu \(5\)(żeby się nie powtarzał z tym na drugim miejscu) i tak dalej

\(6 \cdot 5^{n-1}\)

b)

wybieram dwa wyrazy na \({6 \choose 2}\) sposoby

co najwyżej dwuwyrazowych ciągów jest \({6 \choose 2} \cdot 2^n\) ale tak licząc np. ciąg \(A,A,A, \ldots\) będzie zliczany kilka razy, dokładnie \(5\) razy

zatem zmniejszamy \({6 \choose 2} \cdot 2^n - 4 \cdot 6\)

c)

zliczamy na pierwszych pięciu miejscach: \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\) możliwości

później dostawiamy tak, żeby nie zepsuć warunku czyli za każdym razem wybieramy jedną z dwóch mozliwych liczb

\(6! \cdot 2^{n-5}\)

Panowie, wiecie czemu zamiast obliczeń napisane jest math i nie chce sie to zmienic ?