forum.zadania.info

Mam definicje funkcjonału Minkowskego

Niech \(A\) będzie wypukłym, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej \(X\). Wówczas poprawnie określony funkcjonał \(p(x)=inf\left\{ \lambda>0: x \in \lambda A \right\}\) \(x \in X\) nazywamy funkcjonałem Minkowskiego.

I mam problem z udowodnieniem własności funkcjonału
\(1) p \ge 0\)

skąd wynika że \(p(0)=0\)
skoro definicja mówi że \(p(x)\) jest najmniejszą \(\lambda>0\) czyli jak może być \(0\)

znalazłam taki dowód
Z definicji zbioru pochłaniającego \(x=0\). Skoro \(0\in tA\) dla pewnego \(t>0\), to \(0=\frac{1}{t}0\in\frac{1}{t}\cdot tA=A\)
czyli mamy że \(0 \in A\)

ALe jak z tego wynika że \(p(0)=0\)

Infimum tym właśnie różni się od minimum, że nie musi być elementem zbioru.

Skoro każda liczba dodatnia należy do tego zbioru \(\lbrace \lambda >0: x \in \lambda A\rbrace\) (a to właśnie zostało pokazane wyżej ze zmianą literki lambda na t), to musi być \(\inf\lbrace \lambda >0: x \in \lambda A\rbrace = 0\).

Dla lepszego zrozumienia może warto zajrzeć w jakiś zbiór z Analizy matematycznej I, gdzie jest mowa o kresach zbiorów.