Równanie prostej

[natalka96]

Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkt \(A(2,4)\) i jest równo oddalona od punktów \(B(-1,-1)\) i \(C(3,1)\). Rozważ dwa przypadki.

[radagast]

Te dwa przypadki to:
1) prosta równoległa do prostej BC, przechodząca przez punkt A
\(\vec{BC}= \left[4,2 \right] \parallel \left[2,1 \right] \perp \left[1,-2 \right]\)
\(x-2y+C=0\)
\(2-2 \cdot 4+C=0 \So C=6\)
\(x-2y+6=0\)

2) prosta przechodząca przez A i środek odcinka BC
środek \(\kre{BC}\) to \(M=\left(1,0 \right)\)
\(\vec{MA}= \left[1,4 \right] \perp \left[ 4,-1\right]\)
\(4x-y+C=0\)
\(4 \cdot 2-4+C=0 \So C=-4\)
\(4x-y-4=0\)

[lukasz8719]

Albo trochę trudniej...

Masz pęk prostych

\(y-4=a(x-2) \\ y=ax-2a+4 \\ -ax+y+2a-4=0\) No to teraz odległość punkty od prostej

\(\frac{|-a \cdot (-1)+(-1)+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a \cdot 3 +1+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} } \\
\frac{|3a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a -4|}{ \sqrt{1+a^2} }\)

\(|3a-5|=|-a -3|\\
3a-5=-a-3 \\
a= \frac{1}{2} \\
3a-5=a+3 \\
2a=8 \\
a=4\)
Podstawiając
To mamy 2 proste
\(y= \frac{1}{2}x+3 \vee y=4x-4\)

[natalka96]

Albo trochę trudniej...

Masz pęk prostych

\(y-4=a(x-2) \\ y=ax-2a+4 \\ -ax+y+2a-4=0\) No to teraz odległość punkty od prostej

\(\frac{|-a \cdot (-1)+(-1)+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a \cdot 3 +1+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} } \\
\frac{|3a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a -4|}{ \sqrt{1+a^2} }\)

\(|3a-5|=|-a -3|\\
3a-5=-a-3 \\
a= \frac{1}{2} \\
3a-5=a+3 \\
2a=8 \\
a=4\)
Podstawiając
To mamy 2 proste
\(y= \frac{1}{2}x+3 \vee y=4x-4\)

ale na jakiej zasadzie przechodzisz z przyrównania do tej postaci \(|3a-5|=|-a-3|\)

[ms7]

ponieważ mianowniki są już równe, więc wystarczy sprawdzić kiedy liczniki będą równe. (albo pomnożyć stronami przez mianownik)
możesz przyrównać \(|3a-4|=|-a -4|\)

[natalka96]

no ale nie mnożył stronami przez mianownik , a przyrównaniu w ułamku w liczniku jest \(\frac{|3a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a-4|}{ \sqrt{1+a^2}}\) więc JAK zmienia się nagle \(-4\) na \(-5\) bo tego nie rozumiem o.o

[ms7]

nie wiem, być może to zwykła 'literówka', przyrównaj, tak jak Ci napisałem w poprzednim poście i dalej wykonaj te same operacje tylko na tym przyrównaniu

[natalka96]

ale to jednak coś musiało być a nie ' literówka ' bo jak podstawiam \(|3a-4|=|-a -4|\) to wychodzi
\(3a-4=-a-4 \\4a=-4+4 \\4a=0 \\a=0\)

[lukasz8719]

\(\frac{|-a \cdot (-1)+(-1)+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a \cdot 3 +1+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} } \\
\frac{|3a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a -4|}{ \sqrt{1+a^2} }\)

\(|3a-5|=|-a -3|\\\)
\(y= \frac{1}{2}x+3 \vee y=4x-4\)

Tam jest literówka. Powinno być

\(\frac{|-a \cdot (-1)+(-1)+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a \cdot 3 +1+2a-4|}{ \sqrt{1+a^2} } \\
\frac{|3a-5|}{ \sqrt{1+a^2} }= \frac{|-a -3|}{ \sqrt{1+a^2} }\)

\(|3a-5|=|-a -3|\\\)
\(y= \frac{1}{2}x+3 \vee y=4x-4\)