Funkcja kwadratowa

Wiktoriiia · Post autor: **Wiktoriiia** » 13 lut 2010, 00:28

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
\(f(x)=2 (3cos^2x + 1)^2 -12 (3cos^2x + 1) +16\), gdzie \(x \in R\)

Bardzo proszę o pomoc

bolc · Post autor: **bolc** » 13 lut 2010, 11:12

Pozwolę sobie wprowadzić zmienną \(t=3cos^2x+1\). Funkcja przyjmuje wtedy postać:
\(f(x)=2t^2-12t+16\). Współczynnik \(a\) jest dodatni, czyli ramiona funkcji będą skierowane w górę, a więc funkcja osiąga najmniejszą wartość w wierzchołku. Współrzędna wierzchołka \(q\) wyraża się wzorem \(\frac{- \Delta }{4a}\)

\(\Delta =144-128=16\)
\(q= \frac{-16}{8} =-2\)

Żeby policzyć największą wartość funkcji policzę jaką wartość funkcja osiąga dla największej i najmniejszej możliwej wartości \(cos^2x \in <0,1>\)

dla \(cos^2x=1\)
\(f(x)=2 \cdot 4-12 \cdot 4+16=32-48+16=0\)

dla \(cos^2x=0\)
\(f(x)=2 \cdot 1-12 \cdot 1+16=18-12=6\)

Odp: \(f_{max}=6\) i \(f_{min}=-2\)

kate2308 · Post autor: **kate2308** » 13 lut 2010, 13:23

Przepraszam ze się wtrącam,ale właśnie rozwiązuje też te zadanie i mam problem.... Skąd się wziął ten przedział cosinusa <0,1>?? Bardzo zależy mi na szybkiej odpowiedzi

bolc · Post autor: **bolc** » 13 lut 2010, 13:58

Ponieważ \(cosx\) przyjmuje wartości z przedziału \(<-1,1>\) a funkcja \(cos^2x\) przyjmuje tylko wartości nieujemne, ponieważ każda liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę nieujemną.

Można też narysować sobie wykres \(cos^2x\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos^2x
lub przekształcić pierwiastkując \(cos^2x \Rightarrow \sqrt{cos^2x} \Rightarrow |cosx|\)

kate2308 · Post autor: **kate2308** » 13 lut 2010, 14:10

dziękuje ślicznie

Wiktoriiia · Post autor: **Wiktoriiia** » 13 lut 2010, 21:54

Bardzo dziękuje