forum.zadania.info

Witam,
Wykazać, że każdą liczbę naturalną \(n\) da jednoznacznie przedstawić w postaci \(n=1!d_1+2!d_2+...+k!d_k\) gdzie \(d_i \in \nn \cup \left\{ 0\right\}\) oraz \(d_i \le i\) oraz \(1\le i \le k\)

podbijam temat!

Tę tożsamość zapewne znasz : \(1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+....+n \cdot n!= (n+1)!-1\)
Ona daje jednoznaczne żądane przedstawienie dla szczególnych \(n\).
Ale ...stąd do ogółu ....?
Te trudne liczby \(k \in N\) to leżą w przedziale \(n!-1< k< (n+1)!-1\) ??

znam, znam. Kombinowałem z przedstawieniem \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\) i postulatem Bertranda, ale skończyły mi się pomysły.

Rozpisałem sobie pierwsze 24 liczby naturalne wg tego przedstawienia i załapałem regułę, jak to się robi - dalej robiłem automatycznie.

ogólnie: dla \(n =1 \So k=1\)

dla \(n \in \left\{2,3,4,5 \right\} \So k=2\)

\(n \in \left\{6,7,8,9,...,23 \right\} \So k=3\)

itp wg silni.