Zadania różne rozszerzenie

[Ciapek19872103]

1 Przez środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC i wierzchołek C tego trójkąta poprowadzono prostą CS. Przecina ona okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie K. Wykaż, że |KA| = |KS|.
2
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x i y prawdziwa jest nierówność
\(x+y+ \frac{x+y}{xy} \ge 4\)
3
Funkcja f jest określona wzorem f (x) =| x −1| − x −m dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe.
4
Dla dodatnich liczb a i b (a > b) prawdziwa jest równość a2 + b2 = 4ab. Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a+b}{a-b}\)
5
Wyznacz największą liczbę będącą rozwiązaniem równania \(4cos^2 x = \frac{1-cos2x}{1-cosx}\), należącą do
przedziału <0; 2π> . Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby. Do obliczeń przyjmij π = 3,14.

[eresh]

1 Przez środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC i wierzchołek C tego trójkąta poprowadzono prostą CS. Przecina ona okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie K. Wykaż, że |KA| = |KS|.

Zad 1.
\(|\angle ACB| = 2 \beta\\
|\angle CAB| = 2\alpha\)

\(|\angle ACS| =\beta\\
|\angle CAS|= \alpha\)

\(|\angle ASC |= 180^{\circ}-\alpha-\beta\\
|\angle ASK|=180^{\circ}-|\angle ASC |=\alpha+\beta\)

\(|\angle KAB|=| \angle KCB| =\beta\) (kąty oparte na tym samym łuku)

\(|\angle SAK|=|\angle ASK|\) - trójkąt AKS jest równoramienny i \(|AK|=|KS|\)

[eresh]

2
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x i y prawdziwa jest nierówność
\(x+y+ \frac{x+y}{xy} \ge 4\)

\(x+y+\frac{x+y}{xy}=x+y+\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\geq 2+2=4\)

[eresh]

3
Funkcja f jest określona wzorem f (x) =| x −1| − x −m dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe.
.

\(g(x)=|x-1|-x=\begin{cases}x-1-x\mbox{ dla }x\geq 1\\-x+1-x\mbox{ dla }x<1\end{cases}=\begin{cases}-1\mbox{ dla }x\geq 1\\-2x+1\mbox{ dla }x<-1\end{cases}\)

Bez tytułu.png (3.44 KiB) Przejrzano 1749 razy

f(x) ma jedno miejsce zerowe, gdy \(m>-1\)

[eresh]

4
Dla dodatnich liczb a i b (a > b) prawdziwa jest równość a2 + b2 = 4ab. Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a+b}{a-b}\)

\(a^2+b^2=4ab\\
a^2-2ab+b^2=2ab\\
(a-b)^2=2ab\\
a-b=\sqrt{2ab}\)


\(a^2+b^2=4ab\\
a^2+2ab+b^2=6ab\\
(a+b)^2=6ab\\
a+b=\sqrt{6ab}\)

\(\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{6ab}{2ab}}=\sqrt{3}\)

[eresh]

5
Wyznacz największą liczbę będącą rozwiązaniem równania \(4cos^2 x = \frac{1-cos2x}{1-cosx}\), należącą do
przedziału <0; 2π> . Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby. Do obliczeń przyjmij π = 3,14.

\(4\cos^2x=\frac{1-\cos 2x}{1-\cos x}\\
1-\cos x\neq 0\\
\cos x\neq 1\)

\(4\cos^2x=\frac{1-2\cos^2x+1}{1-\cos x}\\
4\cos^2x=\frac{2(1-cos x)(1+\cos x)}{1-\cos x}\\
2\cos^2x=1+\cos x\\
2\cos^2x-\cos x-1=0\\
\cos x=t,t\in [-1,1]\\
2t^2-t-1=0\\
t_1=1\;\;\So\;\;\cos x=1\;x\notin D\\
t_2=-\frac{1}{2}\;\;\;\So\;\;\cos x=-\frac{1}{2}\;\;\So\;x=\frac{2\pi}{3}\;\;\vee\;\; x=\frac{4\pi}{3}\)

największe rozwiązanie to \(x=\frac{4\pi}{3}\approx 4,18(6)\)