Gęstość, dystrybuanta, prawdopodobieństwo, wnioskowanie

[malineczka8888]

1. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:
F(x)= \(\begin{cases} 0&\text{dla}x<0\\ \frac{x^2}{25}&\text{dla} 0 \le X<5\\ 1&\text x \ge 5 \end{cases}\)
Dla zmiennej losowej X wyznacz:
a) funkcję gęstości
b) wartość oczekiwaną \(Q_1\)
c) P(X=3), P(X>2),\(P(0 \le X<4)\)
2. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N(-4,3), wyznacz P(X>-6), P(|X+1|\(\le 3)\), kwantyl \(q_{0,65}\)
3. W dużej partii wyrobów znajduje się 20% wyrobów I gatunku. Losujemy niezależnie 300 sztuk wyrobów. Obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej 50 sztuk I gatunku wśród wylosowanych.
4. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Na bardzo dokładnej wadze sprawdzono 9 losowo wybranych porcji otrzymując średnią wagę 5,09 z odchyleniem standardowym 0,09.
a) Zakłądając, że rozkład wag jest normalny wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego na poziomie ufności \(1- \alpha =0,99\)
b) jak duża powinna być próba, aby decyzja oszacowania była nie większa od 0,01
5. Dla danych z zad. 4 dokonaj weryfikacji hipotezy \(H_0: \mu=5\) przeciwko hipotezie \(H_1: \mu>5\)

[sebnorth]

1a)

\(F'(x) = f(x)\)

\(f(x) = \frac{2}{25}x\) dla \(x \in \langle 0;5 \rangle\), dla pozostałych \(x: f(x) = 0\)

[sebnorth]

b)

\(EX = \int_{\rr} xf(x) dx = \int_{0}^{5}\frac{2}{25}x^2 = \frac{2}{25} \frac{1}{3} [x^3]_{0}^{5} =\)

\(= \frac{2}{75}\cdot (125 - 0) = \frac{10}{3}\)

[sebnorth]

c)

\(P(X=3) = 0\)

\(P(X>2) = \int_{2}^{5} \frac{2}{25}x dx = [ \frac{x^2}{25} ]_{2}^{5} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}\)

\(P(0\leq X < 4) = \int_{0}^{4} \frac{2}{25}x dx = [ \frac{x^2}{25} ]_{0}^{4} = \frac{16}{25}\)

[sebnorth]

2

\(X \sim N(-4,3)\)

\(Z = \frac{X+4}{3} \sim N(0,1)\)

\(P(X>-6) = P( \frac{X+4}{3} > \frac{-6+4}{3} ) = P(Z>- \frac{2}{3} ) = 1 - F(- \frac{2}{3} ) = 1 - 0.2525 = 0.7475\)

\(P(|X+1| \leq 3) = P(-3 \leq X+1 \leq 3) = P(0 \leq X+4 \leq 6) = P(0 < Z < 2) = F(2) - F(0) = .4772\)

\(P(X \leq a) = 0.65\)

\(P(Z \leq \frac{a+4}{3} ) = 0.65\)

\(\frac{a+4}{3} = q,\)

gdzie \(q = 0.3853\)

\(a = 3q - 4 = -2.8440\)

[sebnorth]

\(X \sim B(n,p)\)

\(n = 300\)

\(p = 0.2\)

w tej sytuacji:

\(B(n,p) \sim \mathcal{N}(np,\, \sqrt{np(1-p)}) = N(60, 6.928203 ) = Y\)

\(P(X > 50) \approx P(Y > 50) = 1 - F( \frac{50 - 60}{6.928203} ) = 1 - F(-1.443376) = 0.9255427\)

[sebnorth]

n = 9

x = 5.09

s = 0.09

\(\alpha = 0.01\)

wzór na przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ):

\(P \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1}} \right)= 1 - \alpha\)


\(\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1},\; \chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}\) to statystyki spełniające odpowiednio nierówności:

\(P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = \frac{\alpha}{2}\)
\(P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = 1 - \frac{\alpha}{2}\)

gdzie \(\chi^2\) ma rozkład chi-kwadrat z \(n - 1\) stopniami swobody

po podstawieniu i spierwiastkowaniu \(\sigma^2\) otrzymujemy przedział:

\((0.05432769; 0.21954378)\)

[malineczka8888]

a dlaczego P(X=3)=0?

[sebnorth]

w rozkładach ciągłych obliczenie całki daje \(0\)

[malineczka8888]

Może ktoś rozpisać sposób obliczenie tej całki w rozkładzie ciągłym?

A odnośnie podpunktu b w zad. 4 pomoże ktoś?
4. Pewna firma cukiernicza zakupiła automat do produkcji i porcjowania lodów. Na bardzo dokładnej wadze sprawdzono 9 losowo wybranych porcji otrzymując średnią wagę 5,09 z odchyleniem standardowym 0,09.
b) jak duża powinna być próba, aby precyzja oszacowania była nie większa od 0,01