Zad.1 .Wykaż, że jeżeli kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta jest dwa razy większy od drugiego kąta tego trójkąta, to trójkąt jest równoramienny. czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?
Zad.2. W trójkącie ABC (kąt C = 90 stopni) przedłużono bok AC poza punkt C o odcinek CB1, CB=CB1, oraz bok BC poza punkt C o odcinek CA1, CA=CA1, i połączono punkty A1 i B1. Wykaż, że przedłużenie wysokości CD trójkąta ABC jest środkową CE trójkąta A1B1C.
DOWODY - geometria, trojkaty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Nazwij kąty przy podstawie \(\alpha,\ \gamma\), a trzeci kąt trójkąta \(\beta\). Kąt przyległy do kąta \(\beta\) ma miarę \(2\alpha\).
Kąty przyległe dają w sumie kąt półpełny. suma kątów trójkąta też jest kątem półpełnym i mamy:
\(\begin{cases}2\alpha+\beta=180^o\\\alpha+\beta+\gamma=180^o \end{cases}\)
Stąd: \(\alpha=\gamma\), czyli trójkąt jest równoramienny.
Nazwij teraz kąty przy podstawie \(\alpha\), kąt między ramionami \(\beta\), a kąt przyległy do kąta między ramionami \(\gamma\).
Mamy:
\(\begin{cases}\beta+\gamma=180^o\\2\alpha+\beta=180^o \end{cases}\)
I stąd \(\gamma=2\alpha\).
Czyli kąt przyległy do jednego z kątów wewnętrznych trójkata równoramiennego jest dwa razy większy od innego kąta tego trójkąta.
Nazwij kąty przy podstawie \(\alpha,\ \gamma\), a trzeci kąt trójkąta \(\beta\). Kąt przyległy do kąta \(\beta\) ma miarę \(2\alpha\).
Kąty przyległe dają w sumie kąt półpełny. suma kątów trójkąta też jest kątem półpełnym i mamy:
\(\begin{cases}2\alpha+\beta=180^o\\\alpha+\beta+\gamma=180^o \end{cases}\)
Stąd: \(\alpha=\gamma\), czyli trójkąt jest równoramienny.
Nazwij teraz kąty przy podstawie \(\alpha\), kąt między ramionami \(\beta\), a kąt przyległy do kąta między ramionami \(\gamma\).
Mamy:
\(\begin{cases}\beta+\gamma=180^o\\2\alpha+\beta=180^o \end{cases}\)
I stąd \(\gamma=2\alpha\).
Czyli kąt przyległy do jednego z kątów wewnętrznych trójkata równoramiennego jest dwa razy większy od innego kąta tego trójkąta.
2.
Przepraszam, musiałam na chwilę zająć się czymś innym.
Zauważ, że czworokąt \(ABB_1A_1\) jest trapezem równoramiennym, bo kąt \(B_1BA\) jest równy kątowi \(BB_1A_1\). Podobnie \(| \angle BAA_1|=| \angle B_1A_1A|\) i \(|AB|=|A_1B_1|\).
Oznaczyłam:
\(|AC|=a\\|BC|=b\\|AC|=c\\|CD|=h\\ \angle CBA=\alpha\\ \angle BAC=\beta\\|B_1E|=x\\|EA_1|=c-x\)
Trójkąt CDA jest podobny do trójkata ABC, więc
\(\frac{h}{a}=cos\alpha\\h=a\cdot\ cos\alpha\)
\(| \angle B_1CE|=\alpha\)- kąt wierzchołkowy z kątem DCA. Czyli trójkąt \(B_1CE\) jest równoramienny i \(|CE|=|B_1E|=x\)
W trójkącie \(ECA_1\) mamy:
\(|AC|=a\\|EC|=x\\| \angle ECA_1|=90^0-\alpha\)
Pole trójkąta \(ACB_1\):
\(P=\frac{1}{2}axsin(90^o-\alpha)=\frac{1}{2}(c-x)\cdot\ h\\\frac{1}{2}axcos\alpha=\frac{1}{2}(c-x)\cdot\ a\cdot\ cos\alpha\\c-x=x\)
Czyli CE jest środkową w tym trójkącie.
Przepraszam, musiałam na chwilę zająć się czymś innym.
Zauważ, że czworokąt \(ABB_1A_1\) jest trapezem równoramiennym, bo kąt \(B_1BA\) jest równy kątowi \(BB_1A_1\). Podobnie \(| \angle BAA_1|=| \angle B_1A_1A|\) i \(|AB|=|A_1B_1|\).
Oznaczyłam:
\(|AC|=a\\|BC|=b\\|AC|=c\\|CD|=h\\ \angle CBA=\alpha\\ \angle BAC=\beta\\|B_1E|=x\\|EA_1|=c-x\)
Trójkąt CDA jest podobny do trójkata ABC, więc
\(\frac{h}{a}=cos\alpha\\h=a\cdot\ cos\alpha\)
\(| \angle B_1CE|=\alpha\)- kąt wierzchołkowy z kątem DCA. Czyli trójkąt \(B_1CE\) jest równoramienny i \(|CE|=|B_1E|=x\)
W trójkącie \(ECA_1\) mamy:
\(|AC|=a\\|EC|=x\\| \angle ECA_1|=90^0-\alpha\)
Pole trójkąta \(ACB_1\):
\(P=\frac{1}{2}axsin(90^o-\alpha)=\frac{1}{2}(c-x)\cdot\ h\\\frac{1}{2}axcos\alpha=\frac{1}{2}(c-x)\cdot\ a\cdot\ cos\alpha\\c-x=x\)
Czyli CE jest środkową w tym trójkącie.
Dzięki serdeczne! A mam jeszcze pytanie czy dałoby się to zrobić to jakoś bez tych cosinusów. xD itp. 
. 
A i jeszcze mam jedno zadanie. Też bardzo prosiłabym kogoś o pomoc. W trójkącie równoramiennym ABC poprowadzono do podstawy BC lub do jej przedłużenia taki odcinek AD, że kąt ADC = 60 stopni. Wykaż, że |AD|=|DC|+|BD| lub |AD|=||DC|- |BD|| i zbadaj kiedy mamy sumę, a kiedy różnicę.
. A i jeszcze mam jedno zadanie. Też bardzo prosiłabym kogoś o pomoc. W trójkącie równoramiennym ABC poprowadzono do podstawy BC lub do jej przedłużenia taki odcinek AD, że kąt ADC = 60 stopni. Wykaż, że |AD|=|DC|+|BD| lub |AD|=||DC|- |BD|| i zbadaj kiedy mamy sumę, a kiedy różnicę.
Jeżeli kąt przy podstawie ma więcej niż \(60^o\), to punkt D leży na zewnątrz trójkąta ABC, czyli na przedłużeniu boku BC.
Narysuj trójkąt równoramienny, w którym kąt przy podstawie (boku BC) jest większy niż \(60^\). Narysuj odcinki \(AD_1\) i \(AD_2\) tak, żeby punkty \(D_1\ i\ D_2\) leżały na prostej BC i trójkąt \(AD_1D_2\) był równoboczny. Wtedy \(|D_1D_2|=|AD_1|=|AD_2|\ i\ |BD_1|=|CD_2|\) i mamy:
- jeśli trójkąt równoramienny nazywa się ABC, to szukany punkt \(D=D_1\) i
\(|D_1D_2|=|AD_1|=|BD_1|+|BD_2|=|BD_1|+|CD_1|\)
-jeśli trójkąt nazywa się ACB, to szukany punkt \(D=D_2\) i:
\(|D_1D_2|=|AD_2|=|CD_2|+|CD_1|=|CD_2|+|BD_2|\)
Jesli kąt przy podstawie ma mniej niż \(60^o\), to punkt D leży wewnątrz trójkata.
Narysuj trójkąt równoramienny, w którym kąt przy podstawie ma mniej niż \(60^o\), a w nim dwa odcinki \(D_1\ i\ D_2\) tak, żeby oba punkty należały do boku BC i trójkąt \(AD_1D_2\) był równoboczny.
Wtedy \(|BC|=|D_1D_2|+|BD_1|+|CD_2|\ i\ |BD_1|=|CD_2|\)
\(|AD_1|=|AD_2|=|D_1D_2|=|BD_2|-|BD_1|=|BD_2|-|CD_2|\)
lub
\(|AD_2|=|D_1D_2|=|BD_1|-|BD_2|=|BD_1|-|CD_1|\)
Jeżeli trójkąt ABC jest równoboczny, to D=B i |AD|=|BC|+|BD|, bo |BD|=0
Czyli:
|AD|=|BD|+|CD| lub |AD|=||BD|-|CD||.
Suma jest wtedy, gdy kąt przy podstawie ma więcej niż \(60^o\), a różnica, gdy ten kąt jest mniejszy niż \(60^o\)
Narysuj trójkąt równoramienny, w którym kąt przy podstawie (boku BC) jest większy niż \(60^\). Narysuj odcinki \(AD_1\) i \(AD_2\) tak, żeby punkty \(D_1\ i\ D_2\) leżały na prostej BC i trójkąt \(AD_1D_2\) był równoboczny. Wtedy \(|D_1D_2|=|AD_1|=|AD_2|\ i\ |BD_1|=|CD_2|\) i mamy:
- jeśli trójkąt równoramienny nazywa się ABC, to szukany punkt \(D=D_1\) i
\(|D_1D_2|=|AD_1|=|BD_1|+|BD_2|=|BD_1|+|CD_1|\)
-jeśli trójkąt nazywa się ACB, to szukany punkt \(D=D_2\) i:
\(|D_1D_2|=|AD_2|=|CD_2|+|CD_1|=|CD_2|+|BD_2|\)
Jesli kąt przy podstawie ma mniej niż \(60^o\), to punkt D leży wewnątrz trójkata.
Narysuj trójkąt równoramienny, w którym kąt przy podstawie ma mniej niż \(60^o\), a w nim dwa odcinki \(D_1\ i\ D_2\) tak, żeby oba punkty należały do boku BC i trójkąt \(AD_1D_2\) był równoboczny.
Wtedy \(|BC|=|D_1D_2|+|BD_1|+|CD_2|\ i\ |BD_1|=|CD_2|\)
\(|AD_1|=|AD_2|=|D_1D_2|=|BD_2|-|BD_1|=|BD_2|-|CD_2|\)
lub
\(|AD_2|=|D_1D_2|=|BD_1|-|BD_2|=|BD_1|-|CD_1|\)
Jeżeli trójkąt ABC jest równoboczny, to D=B i |AD|=|BC|+|BD|, bo |BD|=0
Czyli:
|AD|=|BD|+|CD| lub |AD|=||BD|-|CD||.
Suma jest wtedy, gdy kąt przy podstawie ma więcej niż \(60^o\), a różnica, gdy ten kąt jest mniejszy niż \(60^o\)