Proste o rownaniach y=-3x-4, y=-x-5, y=x-8 sa styczne do paraboli y=ax^2+bx+c.
Wyznacz
1.wspolczynniki. a b c
2. wspolrzedne stycznosci
funkcja kwadratowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Każda prosta styczna ma dokładnie jeden wspólny punkt z parabolą. Czyli każde z równań:
\(ax^2+bx+c=-3x-4\\ax^2+(b+3)x+c+4=0\)
\(ax^2+bx+c=-x-5\\ax^2+(b+1)x+c+5=0\)
\(ax^2+bx+c=x-8\\ax^2+(b-1)x+c+8=0\)
musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Wyróżnik (delta) każdego z nich musi być równy zero. Otrzymujemy więc układ równań:
\(\begin{cases}(b+3)^2-4a(c+4)=0\\(b+1)^2-4a(c+5)=0\\(b-1)^2-4a(c+8)=0 \end{cases} \\ \begin{cases}b^2+6b+9-4ac-16a=0\\b^2+2b+1-4ac-20a=0\\b^2-2b+1-4ac-32a \end{cases}\)
Od pierwszego równania odjęłam stronami drugie, a następnie od pierwszego odjęłam trzecie i otrzymałam układ równań:
\(\begin{cases}4b+8+4a=0\\8b+8+16a=0 \end{cases} \\ \begin{cases}a=1\\b=-3 \end{cases} \\c=-4\)
\(y=x^2-3x-4\)
b)
Szukamy wspólnych punktów paraboli z prostymi:
\(x^2-3x-4=-3x-4\\x^2=0\\x=0\\y=-4\)
(0, -4)
\(x^2-3x-4=-x-5\\x^2-2x+1=0\\)x-1)^2=0\\x=1\\y=-1-5=-6\)
(1, -6)
\(x^2-3x-4=x-8==x^2-4x+4=0\\(x-2)^2=0\\x=2\\y=-6\)
(2, -6)
\(ax^2+bx+c=-3x-4\\ax^2+(b+3)x+c+4=0\)
\(ax^2+bx+c=-x-5\\ax^2+(b+1)x+c+5=0\)
\(ax^2+bx+c=x-8\\ax^2+(b-1)x+c+8=0\)
musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Wyróżnik (delta) każdego z nich musi być równy zero. Otrzymujemy więc układ równań:
\(\begin{cases}(b+3)^2-4a(c+4)=0\\(b+1)^2-4a(c+5)=0\\(b-1)^2-4a(c+8)=0 \end{cases} \\ \begin{cases}b^2+6b+9-4ac-16a=0\\b^2+2b+1-4ac-20a=0\\b^2-2b+1-4ac-32a \end{cases}\)
Od pierwszego równania odjęłam stronami drugie, a następnie od pierwszego odjęłam trzecie i otrzymałam układ równań:
\(\begin{cases}4b+8+4a=0\\8b+8+16a=0 \end{cases} \\ \begin{cases}a=1\\b=-3 \end{cases} \\c=-4\)
\(y=x^2-3x-4\)
b)
Szukamy wspólnych punktów paraboli z prostymi:
\(x^2-3x-4=-3x-4\\x^2=0\\x=0\\y=-4\)
(0, -4)
\(x^2-3x-4=-x-5\\x^2-2x+1=0\\)x-1)^2=0\\x=1\\y=-1-5=-6\)
(1, -6)
\(x^2-3x-4=x-8==x^2-4x+4=0\\(x-2)^2=0\\x=2\\y=-6\)
(2, -6)