wykaż, że.
: 18 gru 2014, 21:33
Wykaż, że jeśli kąty \(\alpha, \beta, \gamma\) są kątami wewnętrznymi trójkąta oraz \(sin^2\alpha+sin^2\beta<sin^2\gamma\) to \(cos \gamma < 0\)
z tw. sinusów:
\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}\)
\(\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{a}{c}\)
\(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \gamma} = \frac{a^2}{c^2}\)
podobnie \(\frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \gamma} = \frac{b^2}{c^2}\)
\(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta < \sin^2 \gamma\)
\(\frac{\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta}{\sin^2 \gamma } < 1\)
\(\frac{\sin^2 \alpha }{\sin^2 \gamma} + \frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \gamma} < 1\)
\(\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} < 1\)
\(\frac{a^2 + b^2}{c^2} < 1\)
\(a^2 + b^2 < c^2 =_{\mbox{tw. cosinusów}} a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma\)
\(2ab\cos \gamma < 0\)
\(\cos \gamma < 0\)