Witam
Dane:
\(a=0.1m\)
\(q_{1+}=q_{2+}=2 \cdot 10^{-9}C\)
\(q_{3-}=q_{4-}=-2 \cdot 10^{-9}C\)
Szukane:
\(E_O=?\)
Natężenie pola elektrycznego w punkcie
\(O\) jest wypadkową natężeń pochodzących od czterech ładunków punktowych. Korzystając z zasady superpozycji wpierw obliczymy po kolei natężenie pola pochodzące od poszczególnych ładunków punktowych.
Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku punktowego w pewnej odległości
\(r\) od tego ładunku obliczymy korzystając z ogólnej zależności:
\(E=k \frac{q}{r^2}\)
gdzie
\(k=8.99 \cdot 10^9 \frac{Nm^2}{C^2}\) - jest pewną stałą
Odległość
\(r\) obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+a^2= \left( 2r\right)^2\)
Przekształcając dalej:
\(2a^2=4r^2\)
\(r^2= \frac{1}{2}a^2\)
Zatem wartość natężenia pola elektrycznego w punkcie
\(O\) pochodzącego od ładunku
\(q_{1+}\) wynosi:
\(E_1=k \frac{q_{1+}}{r^2}\)
\(E_1=2k \frac{q_{1+}}{a^2}\)
Analogicznie obliczymy natężenia pochodzące od pozostałych ładunków:
\(E_2=2k \frac{q_{2+}}{a^2}\)
\(E_3=2k \frac{q_{3-}}{a^2}\)
\(E_4=2k \frac{q_{4-}}{a^2}\)
Ponieważ natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorową nie wystarczy podać tylko samej wartości. Dlatego nie możemy po prostu dodać do siebie otrzymanych wartości. Musimy znać jeszcze kierunki i zwroty wektorów natężenia pola elektrycznego w punkcie
\(O\). Kierunek ten będzie pokrywał się z odcinkiem
\(r\). Zwrot wektora dla ładunku dodatniego przyjęto od tego ładunku, a dla ładunku ujemnego w stronę tego ładunku.
Narysowane wektory mają taką samą długość, ponieważ wartości bezwzględne ładunków są takie same.
Umieśćmy poszczególne wektory w punkcie
\(O\) i wprowadźmy układ współrzędnych
\(Oxy\).
Aby wyznaczyć wektor wypadkowy musimy dodać do siebie poszczególne wektory (oczywiście dodawać wektorowo).
Składowa pozioma wektora wypadkowego jest równa zero.
Składowa pionowa będzie równa sumie rzutów wektorów
\(\vec{E}_1\),
\(\vec{E}_2\),
\(\vec{E}_3\) i
\(\vec{E}_4\) na oś
\(Oy\).
Poszczególne rzuty obliczymy korzystając z zależności trygonometrycznych:
\(E_{1y}=E_1 \cdot \cos \emptyset\)
\(E_{2y}=E_2 \cdot \cos \emptyset\)
\(E_{3y}=E_3 \cdot \cos \emptyset\)
\(E_{4y}=E_4 \cdot \cos \emptyset\)
Kąt
\(\emptyset\) w tym przypadku ma wartość
\(45^{\circ}\).
Dalej obliczamy:
\(E_{1y}=E_1 \cdot \cos \emptyset =2k \frac{q_{1}}{a^2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}= \sqrt{2}k \frac{q_1}{a^2}\)
\(E_{2y}=E_2 \cdot \cos \emptyset =2k \frac{q_{2}}{a^2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}= \sqrt{2}k \frac{q_2}{a^2}\)
\(E_{3y}=E_3 \cdot \cos \emptyset =2k \frac{q_{3}}{a^2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}= \sqrt{2}k \frac{q_3}{a^2}\)
\(E_{4y}=E_4 \cdot \cos \emptyset =2k \frac{q_{4}}{a^2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}= \sqrt{2}k \frac{q_4}{a^2}\)
Zatem wektor wypadkowy ma wartość:
\(E_O=E_{1y}+E_{2y}+E_{3y}+E_{4y}\)
\(E_O=k \frac{ \sqrt{2}}{a^2} \left(q_1+q_2+q_3+q_4 \right)\)
Ponieważ wartości bezwzględne ładunków są takie same (
\(q_1=q_2=q_3=q_4=q\)) uprościmy powyższy wzór
\(E_O=4 k\frac{ \sqrt{2}}{a^2}q\)
Możemy teraz podstawić konkretne wartości liczbowe:
\(E_O=4 \cdot 8.99 \cdot 10^9 \left[ \frac{Nm^2}{C^2} \right] \frac{ \sqrt{2} }{ \left(0.1m \right)^2}2 \cdot 10^{-9} \left[C \right]\)
\(E_O \approx 10171 \frac{N}{C}\)