forum.zadania.info

Udowodnij że
n+1 nad n-1 = \({n+1}\choose{3}\) + 6\({n+1}\choose{4}\)

wyrazenie po lewej stronie to liczby Stirlinga 1 rodzaju (zamkniete w nawiasach kwadratowych), nie ma tego w Latexie a skany sa zakazane wiec nei wiem jak to lepiej napisac

Ponadto, na cwiczenaich mielismy taki sam poczatek przy przykladzie
\({n}\choose{n-1}\)=\({n}\choose{2}\) (to wyrazenie po lewej to liczby Stirlinga 1 rodzaju, nie wiedizalem jak to zapisac w Latexie..)
zalozenie ze n\(\ge\)2, wydaje mi sie ze to wynika z tego ze n-1\(\ge\)1 wiec w tym przykladzie powinno byc
tak samo. Ale z drugiej strony przy takim zalozeniu glupio udowadniac indukcje dla n=1 a dla
n=2 wychodzi mi sprzecznosc (1=2)..
Macie jakies pomysly jak to zrobic? Zadanie na dodatkowe punkty wiec bylbym naprawde
wdzieczny za pomoc. Ponadto dodam, ze pani doktor kaze zapisywac wszystko po kolei wiec jak
oddam prace w ktorej niewiadomo co skad sie bierze dostane ujemne punkty

Na pewno n musi być większe bądź równe 3,bo wyrażenie \({ n+1\choose4 }\) ma
sens dla \(n+1\ge 4\)
Tak więc najpierw sprawdzasz równość dla n=3,a potem dowodzisz implikację,że z prawdziwości
dla n wynika prawdziwość dla n+1.Powtarzasz warunek \(n\ge 3\)

Jest mały problem, dla n=3 wychodzi że 11=10. Nawet sprawdzalem dla n=4 i tez wychodzila sprzecznosc, czyli ze cale rownanie jest zle? A moze nie da sie udowodnic indukcyjnie?

Co do równości : \(\begin{bmatrix}n \\ n-1\end{bmatrix} = {n \choose 2}\)

to jest ok.
Dla \(n=2\) : \(\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix} = 1 \cdot \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} =1+0=1\)\(= {2\choose 2}\)

teraz indukcja : niech \(\begin{bmatrix}n \\ n-1\end{bmatrix} = {n \choose 2}\)

Ma być : \(\begin{bmatrix}n +1\\ n\end{bmatrix} = {n+1 \choose 2}\)

Czyli \(\begin{bmatrix}n +1\\ n\end{bmatrix} = n \cdot \begin{bmatrix}n \\ n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}n \\ n-1\end{bmatrix}=n \cdot 1+ {n \choose 2} = {n \choose 1} + {n \choose 2} = {n+1 \choose 2}\)
...............................................................
Twoja równość / praca domowa / przechodzi jak powyżej równie łatwo.