forum.zadania.info

Niech A,B⊂R. Czy prawdziwe jest
twierdzenie: A,B są ograniczone ⇐⇒A+B jest ograniczony. Uwaga:zbiór nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieją ograniczenia górne oraz dolne tego zbioru. Uwaga: określamy A+B następująco: A+B={a+b:a∈A,b∈B}.

Zbiór \(A\) jest ograniczony o ile istnieje liczba \(M_A \in \rr\) taka, że \(|a| < M_A\) dla każdego \(a \in A\).

Zatem jeśli \(A, B\) są ograniczone to:

istnieje liczba \(M_A \in \rr\) taka, że \(|a| < M_A\) dla każdego \(a \in A\) oraz istnieje liczba \(M_B \in \rr\) taka, że \(|b| < M_B\) dla każdego \(b \in B\).

Liczby \(M_A, M_B\) możemy przyjąć dodatnie.

dla \(M > 2\max(M_A, M_B)\), dla \(a\in A, b \in B\) prawdą jest

\(|a+b| < |a| + |b| < M_A + M_B \leq \max(M_A, M_B) + \max(M_A, M_B) < M\)

czyli \(A+B\) jest ograniczony.

W drugą stronę:

Załóżmy, że \(A+B\) jest ograniczony przez \(M\). Gdyby któryś ze zbiorów \(A,B\) nie był ograniczony, np \(A\) to:

weźmy dowolny, ustalony \(b \in B\),

\(|a| = |a+b +(- b)| < |a+b| + |b| < M + |b|\)

sprzeczność z tym, że \(A\) jest nieograniczony