Niech A,B⊂R. Czy prawdziwe jest
twierdzenie: A,B są ograniczone ⇐⇒A+B jest ograniczony. Uwaga:zbiór nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieją ograniczenia górne oraz dolne tego zbioru. Uwaga: określamy A+B następująco: A+B={a+b:a∈A,b∈B}.
Czy prawdziwe jest twierdzenie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
Zbiór \(A\) jest ograniczony o ile istnieje liczba \(M_A \in \rr\) taka, że \(|a| < M_A\) dla każdego \(a \in A\).
Zatem jeśli \(A, B\) są ograniczone to:
istnieje liczba \(M_A \in \rr\) taka, że \(|a| < M_A\) dla każdego \(a \in A\) oraz istnieje liczba \(M_B \in \rr\) taka, że \(|b| < M_B\) dla każdego \(b \in B\).
Liczby \(M_A, M_B\) możemy przyjąć dodatnie.
dla \(M > 2\max(M_A, M_B)\), dla \(a\in A, b \in B\) prawdą jest
\(|a+b| < |a| + |b| < M_A + M_B \leq \max(M_A, M_B) + \max(M_A, M_B) < M\)
czyli \(A+B\) jest ograniczony.
W drugą stronę:
Załóżmy, że \(A+B\) jest ograniczony przez \(M\). Gdyby któryś ze zbiorów \(A,B\) nie był ograniczony, np \(A\) to:
weźmy dowolny, ustalony \(b \in B\),
\(|a| = |a+b +(- b)| < |a+b| + |b| < M + |b|\)
sprzeczność z tym, że \(A\) jest nieograniczony
Zatem jeśli \(A, B\) są ograniczone to:
istnieje liczba \(M_A \in \rr\) taka, że \(|a| < M_A\) dla każdego \(a \in A\) oraz istnieje liczba \(M_B \in \rr\) taka, że \(|b| < M_B\) dla każdego \(b \in B\).
Liczby \(M_A, M_B\) możemy przyjąć dodatnie.
dla \(M > 2\max(M_A, M_B)\), dla \(a\in A, b \in B\) prawdą jest
\(|a+b| < |a| + |b| < M_A + M_B \leq \max(M_A, M_B) + \max(M_A, M_B) < M\)
czyli \(A+B\) jest ograniczony.
W drugą stronę:
Załóżmy, że \(A+B\) jest ograniczony przez \(M\). Gdyby któryś ze zbiorów \(A,B\) nie był ograniczony, np \(A\) to:
weźmy dowolny, ustalony \(b \in B\),
\(|a| = |a+b +(- b)| < |a+b| + |b| < M + |b|\)
sprzeczność z tym, że \(A\) jest nieograniczony