Witam
Czy ktoś wie jak rozwiązać to zadanie????
Wykaż , że jeżeli liczby \(a^2 , b^2 , c^2\) tworzą ciąg arytmetyczny , który nie jest stały , to liczby \(\frac{1}{b+c} , \frac{1}{a+c} , \frac{1}{a+b}\) również tworzą ciąg arytmetyczny.
Pozdrawiam
zadanie z ciągiem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Nazwałam wyrazy drugiego ciągu: k, l, m.
Pierwszy ciąg nie jest stały, czyli \(b-a \neq 0\ \wedge c-b \neq 0\)
\(b^2-a^2=c^2-b^2\\(a+b)(b-a)=(b+c)(c-b) \Rightarrow b-a=\frac{c^2-b^2}{a+b}\ \wedge \ c-b=\frac{b^2-a^2}{b+c}\)
\(l-k=\frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}=\frac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)}=\\=\frac{b-a}{(a+c)(b+c)}=\frac{c^2-b^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}\\m-l=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}=\frac{a+c-a-b}{(a+b)(a+c)}=\frac{c-b}{(a+b)(a+c)}=\frac{b^2-a^2}{(a+b)(b+c)(a+c)}\\b^2-a^2=c^2-b^2 \Rightarrow l-k=m-l\)
Czyli ciąg jest arytmetyczny.
Pierwszy ciąg nie jest stały, czyli \(b-a \neq 0\ \wedge c-b \neq 0\)
\(b^2-a^2=c^2-b^2\\(a+b)(b-a)=(b+c)(c-b) \Rightarrow b-a=\frac{c^2-b^2}{a+b}\ \wedge \ c-b=\frac{b^2-a^2}{b+c}\)
\(l-k=\frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}=\frac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)}=\\=\frac{b-a}{(a+c)(b+c)}=\frac{c^2-b^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}\\m-l=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}=\frac{a+c-a-b}{(a+b)(a+c)}=\frac{c-b}{(a+b)(a+c)}=\frac{b^2-a^2}{(a+b)(b+c)(a+c)}\\b^2-a^2=c^2-b^2 \Rightarrow l-k=m-l\)
Czyli ciąg jest arytmetyczny.
dzięki bardzo 
A masz może jakiś pomysł na to zadanie???
Samochód Sp, jadący pod górę , w pierwszej sekundzie pokonał 25 m , a w każdej następnej o pół metra mniej niż w poprzedniej. W tym samym momencie , gdy Sp rozpoczął podjazd , zjazd z góry rozpoczął samochód Sz, będący w odległości 360m od Sp. Samochód Sz w pierwszej sekundzie przebył drogę 9m , a w każdej następnej o 2 m więcej niż w poprzedniej. Jaką odległość pokonał samochód Sp do chwili minięcia z samochodem Sz??
Pozdrawiam
A masz może jakiś pomysł na to zadanie???
Samochód Sp, jadący pod górę , w pierwszej sekundzie pokonał 25 m , a w każdej następnej o pół metra mniej niż w poprzedniej. W tym samym momencie , gdy Sp rozpoczął podjazd , zjazd z góry rozpoczął samochód Sz, będący w odległości 360m od Sp. Samochód Sz w pierwszej sekundzie przebył drogę 9m , a w każdej następnej o 2 m więcej niż w poprzedniej. Jaką odległość pokonał samochód Sp do chwili minięcia z samochodem Sz??
Pozdrawiam
Droga przejechana przez każdy z samochodów to ciąg arytmetyczny;
Droga przejechana przez Sp:
\(a_1=25\\r_1=-\frac{1}{2}\\a_n=25+(n-1)\cdot(-\frac{1}{2})=25-\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\\S_1=\frac{25+25+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}n}{2}\cdot\ n=\frac{n(\frac{101}{2}-\frac{1}{2}n)}{2}=\frac{101}{4}n-\frac{1}{4}n^2\)
Droga przejechana przez Sz:
\(b_1=9\\r_2=2\\b_n=9+(n-1)\cdot2=9+2n-2=2n+7\\S_2=\frac{9+2n+7}{2}\cdot\ n=n^2+8n\)
W sumie przejechali 360m:
\(\frac{101}{4}n-\frac{1}{4}n^2+n^2+8n=360\ /\cdot4\\3n^2+133n-1440=0\\\Delta= 17689+17280\\\sqrt{\Delta}=187\\n_1=9 \vee n_2=27\)
\(n=9\\a_9=25+8\cdot(-\frac{1}{2})=21\\S_1=\frac{25+21}{2}\cdot9=207\)
\(n=27\\a_{27}=25+26\cdot(-\frac{1}{2})=12\\S_1=\frac{25+12}{2}\cdot27=499,5\).
Oczywiście, n musi być równe 9.
Droga szukana to 207m.
Droga przejechana przez Sp:
\(a_1=25\\r_1=-\frac{1}{2}\\a_n=25+(n-1)\cdot(-\frac{1}{2})=25-\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\\S_1=\frac{25+25+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}n}{2}\cdot\ n=\frac{n(\frac{101}{2}-\frac{1}{2}n)}{2}=\frac{101}{4}n-\frac{1}{4}n^2\)
Droga przejechana przez Sz:
\(b_1=9\\r_2=2\\b_n=9+(n-1)\cdot2=9+2n-2=2n+7\\S_2=\frac{9+2n+7}{2}\cdot\ n=n^2+8n\)
W sumie przejechali 360m:
\(\frac{101}{4}n-\frac{1}{4}n^2+n^2+8n=360\ /\cdot4\\3n^2+133n-1440=0\\\Delta= 17689+17280\\\sqrt{\Delta}=187\\n_1=9 \vee n_2=27\)
\(n=9\\a_9=25+8\cdot(-\frac{1}{2})=21\\S_1=\frac{25+21}{2}\cdot9=207\)
\(n=27\\a_{27}=25+26\cdot(-\frac{1}{2})=12\\S_1=\frac{25+12}{2}\cdot27=499,5\).
Oczywiście, n musi być równe 9.
Droga szukana to 207m.