trygonometria

[Iluminati91]

1. Dla pewnego kąta ostrego x wiezmy, że tgx = 3. Oblicz sin4x.
2.Rozwiąż rónanie: sin²x + 3½cos²x = (3½ + 1) sinx cos x
3.Wyznacz najmniejsze dodatnie rozwiązanie ( w stopniach) rónania: cos5°cosx + cos95°sinx = cos 35°
4. Niech x,y będą kątami ostrymi. Wiedząc, że sinx + siny = 4/3 oraz cosx + cosy=2 5½ / 3, uzasadnij, że x=y.

[irena]

1.
\(sinx,\ cosx>0\\tgx=3\\\frac{sinx}{cosx}=3 \Rightarrow sinx=3cosx\\(3cosx)^2+cos^2x=1\\cos^2x=\frac{1}{10}\\cosx=\frac{\sqrt{10}}{10}\\sinx=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)

\(sin4x=2sin2xcos2x=2\cdot2sinxcosx(2cos^2x-1)=8sinxcos^3x-4sinxcosx\\sin4x=8\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot(\frac{\sqrt{10}}{10})^3-4\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot\frac{\sqrt{10}}{10}=\\=\frac{8\cdot10\sqrt{10}\cdot3\sqrt{10}}{1000\cdot10}-\frac{120}{100}=\frac{24}{100}-\frac{120}{100}=-\frac{96}{100}=-\frac{24}{25}\)

[irena]

2.
\(sin^2x+\sqrt{3}cos^2x=(\sqrt{3}+1)sinxcosx\\sin^2x-sinxcosx+\sqrt{3}cos^2x-\sqrt{3}sinxcosx=0\\sinx(sinx-cosx)-\sqrt{3}cosx(sinx-cosx)=0\\(sinx-cosx)(sinx-\sqrt{3}cosx)=0\\sinx=cosx\ \vee \ sinx=\sqrt{3}cosx\\sinx=cosx\ \vee \ tgx=\sqrt{3}\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi\)

[irena]

3.
\(cos95^o=cos(90^o+5^o)=-sin5^o\\cos5^ocosx-sin5^osinx=cos35^o\\cos(x+5^o)=cos35^o\\x+5^o=35^o+k\cdot360^o \vee x+5^o=325^o+k\cdot360^o\)

Najmniejszą dodatnią wartość x otrzymamy dla
\(x+5^o=35^o\\x=30^o\)

[irena]

4. Nie wiem, co jest po drugiej stronie równania: cosx+cosy=???

[bolc]

\(sinx+siny= \frac{4}{3}\) i \(cosx+cosy= \frac{2 \sqrt{5} }{3}\)
\(sinx,cosx,siny,cosy>0\) bo są to kąty ostre

rozpisałem to tak:

\(2sin (\frac{x+y}{2}) cos (\frac{x-y}{2}) = \frac{4}{3}\)
\(2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})= \frac{2 \sqrt{5} }{2}\)


Podnoszę oba równania do kwadratu:

\(4sin^2 (\frac{x+y}{2}) cos^2 (\frac{x-y}{2}) = \frac{16}{9}\)
\(4cos^2(\frac{x+y}{2})cos^2(\frac{x-y}{2})= \frac{20 }{9}\)

Teraz dodam równania stronami:

\(4sin^2 (\frac{x+y}{2}) cos^2 (\frac{x-y}{2})+4cos^2(\frac{x+y}{2})cos^2(\frac{x-y}{2})= \frac{16}{9}+\frac{20 }{9}\)

Wyciągam \(4cos^2(\frac{x+y}{2})\) przed nawias:

\(4cos^2(\frac{x-y}{2})(sin^2 (\frac{x+y}{2})+cos^2(\frac{x+y}{2}))=4\) dzielę obie strony przez \(4\)

\(sin^2 (\frac{x+y}{2})+cos^2(\frac{x+y}{2})=1\) z 1 trygonometrycznej

otrzymuję:

\(cos^2(\frac{x-y}{2})=1\)

\(cos(\frac{x-y}{2})=1 \vee cos(\frac{x-y}{2})=-1\)

\(\frac{x-y}{2}=0 \Rightarrow x=y\)

Niestety nie wiem co zrobić z tym \(cos(\frac{x-y}{2})=-1\)

Może ktoś zna lepszy pomysł na uzasadnienie tego ?

/EDIT

Przyszło mi na myśl coś takiego:

\(cos^2(\frac{x-y}{2})=1 \Rightarrow \frac{x-y}{2}=k \pi ;k \in C\)

\(x-y=2k \pi ;k \in C\) skoro x i y są kątami ostrymi, to przyjmują wartości z przedziału \((0, \frac{ \pi }{2})\)

dla \(k \ge 1\) mamy \(x-y=2k \pi\) - co jest niemożliwe, ponieważ różnica kątów ostrych nigdy nie da wielokrotności kąta pełnego.

dla \(k \le -1\) mamy \(x-y=-2k \pi \Rightarrow y-x=2k \pi\) - co też jest niemożliwe z tego samego powodu, że x i y są kątami ostrymi

Pozostaje nam \(k=0\)

\(x-y=0 \Rightarrow x=y\) taka sytuacja jest jak najbardziej możliwa.

Trochę namieszałem i nie wiem czy to jest dobre uzasadnienie ? Może ktoś potrafi to uzasadnić prościej i bardziej oczywiście.

[bolc]

2.
\(sin^2x+\frac{7}{2}cos^2x=\frac{9}{2}sinxcosx\\sin^2x-sinxcosx+\frac{7}{2}cos^2x-\frac{7}{2}sinxcosx=0\\sinx(sinx-cosx)-\frac{7}{2}cosx(sinx-cosx)=0\\(sinx-cosx)(sinx-\frac{7}{2}cosx)=0\\sinx=cosx\ \vee \ sinx=\frac{7}{2}cosx\\sinx=cosx\ \vee \ tgx=\frac{7}{2}\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ \vee \ ???\)

I nie wiem, czy odczytać przybliżoną wartość z tablic?

Kolega wprowadził Cię w błąd z tym 3 do 1/2 ( to ma być pierwiastek z 3). Mam tą książkę i zadanie ma postać:

\(sin^2x+ \sqrt{3} cos^2x=( \sqrt{3} +1)sinxcosx\)

Odpowiedź do zadania:

\(x= \frac{ \pi }{4} +k \pi ;x= \frac{ \pi }{3} +k \pi ;k \in C\)

Zadanie rozwiązałem i wyszedł mi taki wynik jak w odp. Poniżej przedstawiam moje rozwiązanie:

\(sin^2x+ \sqrt{3} cos^x=( \sqrt{3} +1)sinxcosx\) podzieliłem obie strony przez \(sinxcosx\)

\(tgx+ \sqrt{3} ctgx= \sqrt{3}+1\)
\(tgx+ \frac{ \sqrt{3} }{tgx} - \sqrt{3} -1=0\) mnożę obie strony przez tgx
\(tg^2x+tgx(- \sqrt{3} -1)+ \sqrt{3}=0\) wprowadzam pomocniczą zmienną \(t\)
\(t^2+t(- \sqrt{3} -1)+\sqrt{3}=0\)
\(\Delta =(- \sqrt{3} -1)^2-4 \sqrt{3} =3+2 \sqrt{3} +1-4 \sqrt{3} =3-2 \sqrt{3} +1=( \sqrt{3}-1)^2\)
\(\sqrt{ \Delta } = \sqrt{3} -1\)
\(t_1= \frac{ \sqrt{3}+1- \sqrt{3} +1 }{2} =1\)
\(t_2= \frac{ \sqrt{3}+1+ \sqrt{3}-1 }{2} = \sqrt{3}\)
\(tgx=1 \vee tgx= \sqrt{3}\)
\(x= \frac{ \pi }{4} +k \pi ;x= \frac{ \pi }{3} +k \pi ;k \in C\)

[irena]

Już wcześniej poprawiłam. Dzięki

[bolc]

A co z zadaniem 4 ? Czy masz może jakiś lepszy pomysł na uzasadnienie tego niż ten mój ? I czy ten mój jest w ogóle poprawny :p ?

BTW. Twoje rozwiązanie zadania 2 jest o wiele prostsze niż moje . Muszę popracować nad tym, żeby rozwiązywać zadania jak najprostszym (a zarazem najszybszym) sposobem, bo taka umiejętność na pewno przyda się na maturze .

[bolc]

3.
\(cos95^o=cos(90^o+5^o)=sin5^o\\cos5^ocosx+sin5^osinx=cos35^o\\cos(x-5^o)=cos35^o\\x-5^o=35^o+k\cdot360^o \vee x-5^o=325^o+k\cdot360^o\)

Najmniejszą dodatnią wartość x otrzymamy dla
\(x-5^o=35^o\\x=40^o\)

Tutaj niestety też wkradł Ci się błąd :p.

\(cos95^ \circ =-sin5^ \circ\)

rozwiązując dalej:

\(cos5^ocosx-sin5^osinx=cos35^o\\cos(x+5^o)=cos35^o\)
\(x+5^o=35^o+k\cdot360^o \vee x+5^o=325^o+k\cdot360^o\)
\(x+5^o=35^o\)
\(x=30^o\) i taka jest odpowiedź w książce

[irena]

Ja to zad. 4. zrobiłam bez podnoszenia do kwadratu. Przy podnoszeniu do kwadratu otrzymałeś możliwość \(cos(\frac{x-y}{2})=-1\), co jest niemożliwe, jeśli x i y to kąty ostre i \(sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})=\frac{4}{3}>0\)

\(\begin{cases}2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})=\frac{4}{3}\\2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})=\frac{2\sqrt{5}}{3} \end{cases} \\ \begin{cases}cos(\frac{x-y}{2})=\frac{2}{3sin(\frac{x+y}{2})}\\cos(\frac{x-y}{2})=\frac{\sqrt{5}}{3cos(\frac{x+y}{2})} \end{cases} \\\frac{2}{sin(\frac{x+y}{2})}=\frac{\sqrt{5}}{cos(\frac{x+y}{2})}\\2cos(\frac{x+y}{2})=\sqrt{5}sin(\frac{x+y}{2})\\4cos^2(\frac{x+y}{2})=5sin^2(\frac{x+y}{2})\\9sin^2(\frac{x+y}{2})=4\\sin(\frac{x+y}{2})=\frac{2}{3}\)

\(cos(\frac{x-y}{2})=\frac{2}{3\cdot\frac{2}{3}}=1 \Leftrightarrow \frac{x-y}{2}=2k\pi \wedge x,y \in (0,\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow x-y=4k\pi \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=y+4k\pi \wedge x,y \in (0,\ \frac{\pi}{2}) \Leftrightarrow x=y\)

[irena]

Poprawiłam. Dziękuję. Kończę, jednak już muszę odpocząć.

[bolc]

No, co za dużo to niezdrowo . Ja również dziękuję za pomoc, ale odnośnie zadania 4 mam jedno małe "ale". Piszesz, że zrobiłaś to bez podnoszenia do kwadratu, a przecież podniosłaś, tylko że w innym miejscu niż ja.

\(\\2cos(\frac{x+y}{2})=\sqrt{5}sin(\frac{x+y}{2})\\4cos^2(\frac{x+y}{2})=5sin^2(\frac{x+y}{2})\\9sin^2(\frac{x+y}{2})=4\\sin(\frac{x+y}{2})=\frac{2}{3}\)

Pierwiastkując \(sin^2(\frac{x+y}{2})= \frac{4}{9}\) otrzymujemy:

\(sin(\frac{x+y}{2})=\frac{2}{3} \vee sin(\frac{x+y}{2})=-\frac{2}{3}\)

Podstawiając to do

\(cos(\frac{x-y}{2})=\frac{2}{3sin(\frac{x+y}{2})\) otrzymujemy

\(cos(\frac{x-y}{2})=\frac{2}{3 \frac{2}{3}}=1\) lub \(cos(\frac{x-y}{2})=\frac{2}{3(- \frac{2}{3})}=-1\)

czyli identycznie jak u mnie otrzymałeś możliwość \(cos(\frac{x-y}{2})=-1\)

[irena]

No, niezupełnie, bo jeśli x,y- to kąty ostre, to \(\frac{x+y}{2}\) to też kąt ostry, więc sinus jest dodatni.

[bolc]

A rzeczywiście, nie zwróciłem uwagi. Zwracam więc honor. Ale przy moim rozwiązaniu można chyba po prostu odrzucić \(cos(\frac{x-y}{2})=-1\) skoro x,y kąty ostre, a cos w 1 i 4 cw. jest dotatni ?