forum.zadania.info

Przekątna prostopadłościanu o podstawie kwadratowej ma długosć c. Jaką największą wartość może osiągnąć suma wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu?

Pochodne były?

H- wysokość prostopadłościanu, a - krawędź podstawy

\(c^2=2a^2+H^2\\a\sqrt{2}<c \wedge H<c\\H^2=c^2-2a^2\\H=\sqrt{c^2-2a^2}\)

S(a)- suma długości krawędzi (a zależności od wartości a)
\(S(a)=8a+4\sqrt{c^2-2a^2};\ a \in (0;\ \frac{\sqrt{2}}{2}c)\\S'(a)=8+4\cdot\frac{-2a}{2\sqrt{c^2-2a^2}}=8-\frac{4a}{\sqrt{c^2-2a^2}}=\frac{8\sqrt{c^2-2a^2}-4a}{\sqrt{c^2-2a^2}}\\S'(a)=0 \Leftrightarrow 8\sqrt{c^2-2a^2}=4a \Leftrightarrow a=2\sqrt{c^2-2a^2} \Leftrightarrow a^2=4c^2-8a^2 \Leftrightarrow 9a^2=4c^2 \Leftrightarrow a=\frac{2}{3}c \in D_S\\S'(a)<0 \Leftrightarrow a>\frac{2}{3}c\\S'(a)>0 \Leftrightarrow a<\frac{2}{3}c\)
W punkcie \(a=\frac{2}{3}c\) funkcja S(a) ma maksimum.

Największa wartość funkcji S(a) (maksymalna suma krawędzi):
\(S(\frac{2}{3}c)=8\cdot\frac{2}{3}c+4\cdot\sqrt{c^2-2\cdot\frac{4}{9}c^2}=\frac{16}{3}c+4\cdot\frac{1}{3}c=\frac{20}{3}c\)

Bardzo dziękuję, tak pochodne znam