Geometria analityczna, równanie prostych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Geometria analityczna, równanie prostych
Wyznacz równanie prostych przechodzących przez poczatek układu współrzędnych i stycznych do okręgu o środku w punkcie S(4,0) i promieniu r = 2.
Geometria analityczna, równanie prostych
Punkty styczności będa następujące: A=(4,2) i A'=(4,-2). Zmienna b będzie wynosiła 0. Jak podstawisz te dane do wzoru prostej to ci wyjdzie y=0,5x i y=-0,5x.
-
WalnietyDesko
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 13 paź 2008, 19:09
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
Można skorzystać na przykład ze wzoru na odległość punktu \((x_0,y_0)\) od prostej o równaniu
\(Ax+By+C=0\). Ta odległość to \(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
W tym zadaniu wiadomo, że prosta styczna ma przechodzić przez (0,0), więc ma równanie y=Ax, czyli Ax-y=0,
czyli we wzorze B=1 i C=0.
Skoro ma być styczna do okręgu, to odległość środka okręgu (4,0) od tej prostej musi wynosić 2 (promień okręgu).
Stąd mamy równość
\(\frac{|4A|}{\sqrt{A^2+1}} =2\) co daje \(|2A|=\sqrt{A^2+1}\Rightarrow A^2=\frac{1}{3}\).
Zatem równania tych stycznych, to
\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x i y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x\).
II metoda.
Można spróbować najpierw wyznaczyć punkty styczności.
Punkt styczności będzie z twierdzenia Pitagorasa odległy od (0,0) o \(\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}\).
Wobec tego współrzędne tego punktu (tych punktów) będą spełniać takie dwa równania:
\(x^2+y^2=12\) wyprowadzone przed chwilą z Pitagorasa oraz \((x-4)^2+y^2=4\), bo leżą na okręgu z zadania. Odejmując stronami dostajemy \(8x-16=8\), skąd x=3 i dalej już łatwo.
\(y=\sqrt{3} \vee y=-\sqrt{3}\), a \(\frac{y}{x}\) to współczynnik kierunkowy prostej.
escher
P.S. W sumie przydałby się jakiś sposób wskazywania tych tematów, gdzie już jest odpowiedź ale tylko błędna, bo zaczynają ginąć w tłumie.
\(Ax+By+C=0\). Ta odległość to \(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
W tym zadaniu wiadomo, że prosta styczna ma przechodzić przez (0,0), więc ma równanie y=Ax, czyli Ax-y=0,
czyli we wzorze B=1 i C=0.
Skoro ma być styczna do okręgu, to odległość środka okręgu (4,0) od tej prostej musi wynosić 2 (promień okręgu).
Stąd mamy równość
\(\frac{|4A|}{\sqrt{A^2+1}} =2\) co daje \(|2A|=\sqrt{A^2+1}\Rightarrow A^2=\frac{1}{3}\).
Zatem równania tych stycznych, to
\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x i y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x\).
II metoda.
Można spróbować najpierw wyznaczyć punkty styczności.
Punkt styczności będzie z twierdzenia Pitagorasa odległy od (0,0) o \(\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}\).
Wobec tego współrzędne tego punktu (tych punktów) będą spełniać takie dwa równania:
\(x^2+y^2=12\) wyprowadzone przed chwilą z Pitagorasa oraz \((x-4)^2+y^2=4\), bo leżą na okręgu z zadania. Odejmując stronami dostajemy \(8x-16=8\), skąd x=3 i dalej już łatwo.
\(y=\sqrt{3} \vee y=-\sqrt{3}\), a \(\frac{y}{x}\) to współczynnik kierunkowy prostej.
escher
P.S. W sumie przydałby się jakiś sposób wskazywania tych tematów, gdzie już jest odpowiedź ale tylko błędna, bo zaczynają ginąć w tłumie.
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
III metoda, jak dla mnie prostsza i bardziej zrozumiała 
wzór na okrąg: \((x-4)^2+y^2=4\)
wzór na prostą: \(y = ax\)
mamy układ równań który po podstawieniu da nam
\(x^2(a+1)-8x+16 = 0\)
jeśli prosta jest styczna (1 wspólny punkt) to powyższe równanie kwadratowe powinno mięc 1 rozwiązanie
\(\Delta = 0 \\
16 - 48(a)^2 = 0 \\
a = \frac {\sqrt 3} {3} \vee -\frac {\sqrt 3} {3}\)
wzór na okrąg: \((x-4)^2+y^2=4\)
wzór na prostą: \(y = ax\)
mamy układ równań który po podstawieniu da nam
\(x^2(a+1)-8x+16 = 0\)
jeśli prosta jest styczna (1 wspólny punkt) to powyższe równanie kwadratowe powinno mięc 1 rozwiązanie
\(\Delta = 0 \\
16 - 48(a)^2 = 0 \\
a = \frac {\sqrt 3} {3} \vee -\frac {\sqrt 3} {3}\)
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1869
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt: