forum.zadania.info

Na hiperboli o równaniu \(y= \frac{6}{x}\)gdzie \(x \neq 0\) obrano punkty A(2,3) i B(6,1). Wyznacz na tej hiperboli taki punkt C o ujemnej odciętej aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.

szukany punkt jest \(C=(x,\frac{6}{x}) \qquad x<0\)

\(|AB|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\)

\(l:y_{AB}=-\frac{1}{2}x+4\) zatem \(x+2y-8=0\)

mamy \(h=d(C,l)=\frac{|x+\frac{12}{x}-8|}{\sqrt{5}}\)

\(P(x)=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{|x+\frac{12}{x}-8|}{\sqrt{5}}=|x+\frac{12}{x}-8|=|\frac{x^2-8x+12}{x}|=\frac{|x^2-8x+12|}{|x|}=\frac{-x^2+8x-12}{-x}=x-8+\frac{12}{x}\)

\(P'(x)=1-\frac{12}{x^2}=\frac{x^2-12}{x^2} =0 \iff x=-2\sqrt{3}\)

mamy tu naturalnie minimum.

Mam pytanko , dlaczego wartość bezwzględna w liczniku P(x) została ściągnięta z minusem, ?

marcin098 pisze:Mam pytanko , dlaczego wartość bezwzględna w liczniku P(x) została ściągnięta z minusem, ?

Dobre pytanie Autorowi wyszło ujemne pole trójkąta (ale tego nie zauważył: \(x<0\)), przez co pomylił min z max, ale pomijając ten detal - ogólnie rozwiązanie fajne.