forum.zadania.info

Witajcie drodzy forumowicze. Mam pewien problem ze zrozumieniem relacji. Materiał na ćwiczeniach został potraktowany trochę pobieżnie, przez zrobienie tylko jednego zadania, więc więc przy zabraniu się za jakikolwiek trening chciałbym niektóre nieścisłości wyjaśnić.
Pytania zadam do konkretnych zadań, żeby mieć się do czego odnieść.
Mam przykładowo zbadać, czy podany przykład jest relacją równoważności:
\(x \in R, xRy \iff x-y=2\)
Wiem na jakiej zasadzie sprawdza się równoważność. Relacja musi być zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Zwrotna: \(R \subset AxA \\ \forall x \in A, xRx\)
Więc \(x-y=2 \So x-x=2 \So x-x \neq 2\) - NIE
W tym wypadku sprawdziłem zwrotność. Różnica dwóch takich samych liczb dla każdej nie będzie równa dwa.
Ze zwrotnością raczej nie miewam problemów, bo jakkolwiek ją rozumiem. Wątpliwości zaczynają się przy relacji symetryczności, czy innych własności składających się z większej liczby elementów.
Wiem, że miałem sprawdzić jedynie równoważność (o ile powyższe zrobiłem dobrze), ale chciałbym zrozumieć resztę własności.
Symetryczna:
\(\forall x,y \subset A , (xRy) \So (yRx)\) Ten y mi wszystko komplikuje. Pytanie co ja mogę za niego podstawić. Każdą liczbę rzeczywistą jak to jest zawarte w zadaniu?
Wtedy (po mojemu): \(x-y=2 \So y-x=2 \\ np: x=4, y=2 \\4-2=2 \\2-4 \neq 2\)
Podanie kontrargumentu przeczy całemu twierdzeniu, więc moim zdaniem nie jest też symetryczna.
Nie wypisuję wszystkiego na raz, bo i tak się rozgadałem. Dobrze zrozumiałem te dwie własności? Mam świadomość, że więcej tu mojego gadania niż liczenia, ale chciałbym mieć wszystko w głowie jasno i klarownie. Z góry dziękuję za przeczytanie i ewentualną odpowiedź na porozrzucane tutaj pytania. Pozdrawiam.

tak, dobrze zrozumiałeś.

Za argumenty \(x,y\) możesz podstawić dowolną wartość należącą do zbioru A. Jeśli podasz jeden kontrargument przeczący, którejkolwiek własności, to możesz tę własność obalić.

Dobrze rozumiesz ,że równoważność jest to relacja zwrotna,symetryczna i przechodnia.
Twój przykład przedstawia relację,która nie jest zwrotna,nie jest symetryczna
i nie jest przechodnia.Nie jest to zatem relacja równoważności.
Przykład relacji w zbiorze prostych na płaszczyźnie.
\(lRk\; \iff \;\;l \parallel k\)
zwrotna,bo \(lRl \;\;\iff\;\;\;l \parallel l\)
symetryczna,bo \((lRk\;\;\; \So \;\;kRl)\;\;\; \iff \;\;\;(l \parallel k \;\; \So \;\;k \parallel l)\)
przechodnia: \((lRk\; \wedge \;kRm)\; \So \;lRm\;\;\;\;\; \iff \;\;\;\;\;(l \parallel k\; \wedge \;k \parallel m) \So l \parallel m\)
Równoległość jest relacją równoważnościową.
Prostopadłość jest tylko symetryczna,nie jest zwrotna,ani przechodnia.

Świetnie, świetnie. Dziękuję za odpowiedź. Przeanalizowałem Galen Twój przykład i go rozumiem. Dzięki, im więcej czegoś takiego oglądam tym bardziej się z tym zaprzyjaźniam.

Wiem, że nie ma równoważności, ale pozwólcie, że rozpiszę bardziej szczegółowo ku zrozumieniu.
Przeciwzwrotność:
\(\forall x \in A \sim(xRx)\)
Pytanie jak tutaj się mogę doszukiwać? Użyć tej negacji i zaprzeczać takie działania?
Czyli w tym wypadku \(x-x \neq 2\)
Po mojemu jest przeciwzwrotna. Dla każdego x równanie będzie różne od dwóch.

Antysymetryczność:
\(\forall x,y \in A \\ (xRy \vee yRx) \So (x=y)\\
(x-y=2 \vee y-x=2) \So (x=y)\)
Sprawdzam dla przykładowo x=8 i y=6
\((8-6=2 \vee 6-8 \neq 2) \So (8 \neq 6)\)
Nie zgadza się, a zresztą wartość implikacji w tym przypadku wychodzi 0.

Przechodniość:
\(\forall x,y,z \in A \\ (xRy \wedge yRz) \So xRz
(x-y=2 \wedge y-z=2) \So x-z=2\)
Dobieram liczby, które spełniają równanie x=8, y=6, z=4 podstawowe równania obecne w koniunkcji.
\((8-6=2 \wedge 6-4=2) \So 8-4 \neq 2\)
Wychodzi niezgodność, własność nie zachodzi. Implikacja przyjmuje wartość 0.

Spójność pominę. Głównie operuję na zadaniach gdzie mam zajmować się tymi początkowymi. Tutaj moje pytanie, czy ja generalnie mam dobre rozumowanie? Wybieram sobie wartości dla określonego zbioru w danym przykładzie (tutaj liczby rzeczywiste) i na nich operuję? Nie musiałem właściwie się zastanawiać nad powyższymi, ale chciałem dla przećwiczenia. Jeśli tutaj moje rozumowanie przeszło poprawnie, to zabiorę się cały przykład i nie będę tak dziobał po fragmentach.

Jeśli definicja relacji jest \(xRy \iff x-y=2\)
To sprawdzając
1)zwrotność piszesz \(xRx \iff x-x=0 \neq 2\)
Relacja nie jest zwrotna.
2) symetryczność \((xRy \So yRx) \iff (x-y=2 \So y-x=-2\neq 2\)
nie jest symetryczna
3)przechodniość \((xRy \wedge yRz) \So xRz\;\; \iff (x-y=2\; \wedge y-z=2) \So x-z=4 \neq 2\)
nie jest przechodnia.

Czyli jakkolwiek dobrze myślę. Zrobiłem resztę przykładów:
2)
\(x=Z, xRy \iff x^2 \le y^2 \\\)

zwrotna - TAK
\(x^2 \le x^2\)
symetryczna- NIE
\((xRy \So yRx) \iff (x^2 \le y^2 \So y^2 \le x^2)\)
dla x=2, y=4
\((14 \le 16 \So 16 \le 4)\)
16 nie jest mniejsze lub równe 4. Symetryczność nie zachodzi.

3) \(x={1,2,3}, XRy \iff x+y \neq 3\)
zwrotna - TAK
x+x \neq 3 dla każdego z tego zbioru
symetryczna - NIE
\((xRy \So yRx) \iff (x+y \neq 3 \So y+x \neq 3)\)
dla x=1, y=2
\((1+2=3 \So 2+1=3\)

4) \(x= \nn ,xRy \So 2|x+y\)

zwrotna - TAK
\(xRy \So 2|x+x \So 2|2x\)

symetryczna - TAK(?) - jak na moje, to znalazłbym liczby niepodzielne przez 2 w postaci x+y, co dałoby kontrargument, ale pewności nie mam.
\((xRy \So yRz) \iff (2|x+y \So 2|y+x)\)
Tutaj już proszę o pomoc, bo są wątpliwości, a właśnie ich chciałbym się wyzbyć.

4.
W zbiorze liczb naturalnych

\(xRy \iff 2|(x+y)\)

Suma dwóch naturalnych liczb jest podzielna przez 2, jeśli są to dwie liczby parzyste lub dwie nieparzyste.
To jest relacja równoważności , bo:
\(xRx,\ \ bo\ \ 2|(x+x)\)
jest zwrotna

\((2|(x+y))\ \So \ (2|(y+x))\\xRy\ \So yRx\)
jest symetryczna

\((2|(x+y)\ \wedge\ 2|(y+z))\ \So (2|(x+2y+z))\ \So \ (2|(x+z))\\(xRy)\ \wedge\ yRz)\ \So \ xRz\)
Przechodnia

Jest więc relacją równoważności (dzieli zbiór liczb naturalnych na dwie klasy abstrakcji- podzbiór liczb parzystych i podzbiór liczb nieparzystych)

Dziękuję ireno za odpowiedź.
Takie miałem przeczucie. Mniej więcej rozumiem 4, tylko znając mnie wyszukiwałbym liczby, które by zaprzeczyły i koniec. No, ale pominę, będę musiał się bardziej zastanowić. A jeszcze tak się odniosę. Odnośnie klas abstrakcji mam coś takiego:
\([x]R = \left\{y \in R: yRx \right\}\)
Pytanie jak to fachowo zapisać do powyższego przykładu?

Teraz coś takiego typu, również z równoważnością:
5)\(p= \left\{ (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(a,d),(d,a)\right\} \\ p \subset X x X \\ X= \left\{a,b,c,d \right\}\)

Zwrotna - TAK
\(aRa=(a,a)\)

Symetryczna - NIE
\(cRb=(c,b)\) - brak w zbiorze

W tym wypadku równoważności już nie ma.

6) \(p= \left\{ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(2,4),(4,2) \right\} \\ p \subset X x X \\ X= \left\{1,2,3,4 \right\}\)

Zwrotna - TAK
\(xRx=(x,x)\)

Symetryczna - NIE
\(xRy \So yRx \\ 3R2 \So 2R3\)

Teraz tak. Mam te dwa zbiory, wypisane możliwości (nie wszystkie) i określony zbiór elementów. Czy w kontrargumencie mogę wybrać sobie takie kombinacje ze zbioru X, które nie znajdują się w p i jednocześnie przeczą danemu twierdzeniu, czy muszę dobierać takie elementy, których połączenie znajduje się w p i dopiero odnosić się do własności zwrotności, przechodniości .itd?