forum.zadania.info

Rozwiąż w liczbach całkowitych równania:
\(x^4+2y^4=4(z^4+2t^4)\)

ile nie wiadomych tyle powinno być równań.

4 nie wiadomo 1 równanie? zadanie jest niekompletne

zadanie jednak jest kompletne, bo to równanie ma w liczbach całkowitych tylko jedno rozwiązanie - to, że rozwiązanie ma być w liczbach całkowitych jest tutaj bardzo ważne.

Jedynym rozwiązaniem tego równania jest czwórka liczb równa (0,0,0,0). Gdyby było jakieś inne rozwiązanie, to byłoby także takie rozwiązanie, w którym nie wszystkie cztery liczby sa parzyste, bo jeśli wszystkie są parzyste, to czwórka \((x/2,y/2,z/2,t/2)\) także spełnia dane równanie. możemy więc tak długo dzielić przez 2, aż któraś z liczb stanie się nieparzysta (tylko dla zera to się nie uda).

Ale patrząc na równanie widac od razu, że x musi byc parzyste. W takim razie istnieje takie całkowite \(k\), że \(x=2k\). Wtedy
\(16k^4+2y^4=4(z^4+2t^4)\), a więc \(8k^4+y^4=2z^4+4t^4\), a stąd widac, że y musi byc parzyste.
Znowu piszemy \(y=2m\) i widzimy, że z musi byc parzyste, a potem w analogiczny sposób dostajemy, że t jest parzyste.

Założyliśmy jednak, że nie wszystkie liczby w naszym rozwiązaniu są parzyste i widzimy, że takiego rozwiązania nie ma.

To zadanie nie należy do typowo szkolnych, więc być może lepiej przenieść je do części o konkursach. Miło by było, gdyby hermenegilda napisała skąd jej zadania pochodzą.
escher