forum.zadania.info

Witajcie,

Mam do udowodnienia, że \(\sqrt{pq} \notin Q\) jeśli p i q są liczbami pierwszymi i p jest różne od q. Jak się za to zabrać? Iloczyn dwóch liczb pierwszych nie będzie już liczbą pierwszą, ale co w związku z tym?

Jak zwykle pokazujesz nie wprost. Podnosisz do kwadratu i patrzysz na krotność odpowiednich potęg liczb pierwszych
Dla ułatwienia rozumowania przeprowadź najpierw dowód dla \(\sqrt{10}\)

Hmm, dla \(\sqrt{10}\)

\(\sqrt{10} = \frac{n}{m}\)
\(10 = \frac{n^2}{m^2}\)
\(10m^2 = n^2\) czyli n = 10k
\(10m^2 = 100k^2\)
\(n^2 = 10k^2\)

czyli z tego wynika, że n i m są podzielne przez dziesięć i możemy je zapisać w formie 10k, czyli nie jest niewymierny. Dobrze?

To dla \(\sqrt{pq}\)
\(\sqrt{pq} = \frac{n}{m}\)
\(pq = \frac{n^2}{m^2}\)
\(pq * m^2 = n^2\) czyli n = pq * k
etc. dobrze?

Niech \(\sqrt{pq} = \frac{m}{n}\) \(\\) i \(\\) \((m,n)=1\) <---- bardzo istotne

wtedy \(n^2 \cdot pq=m^2\) czyli \(m^2\) złożona
....................
a) korzystamy z wynikania : jeżeli \(a|b \cdot c\) \(\\) \(\\)i\(\\) \((a,b)=1\) \(\\) to \(\\) \(a|c\)
b) korzystamy z wynikania : jeżeli \(p\) to liczba pierwsza i \(\\)\(p| m^2\)\(\\) to \(p|m\)
....................

stąd istnieje takie \(m_1 \in N\) : \(n^2pq=( m_1 \cdot p)^2\)
stąd \(\\)\(n^2q=p \cdot m_1^2\)
.......................................
korzystamy z wynikania : jeżeli \(p\) pierwsza i \(\\)\(p|n^2 \cdot q\) \(\\) to \(p|n^2\) i dalej \(p|n\)
........................................
sprzeczność bo dostaliśmy ,że \(p|m\) i \(p|n\) stąd nie jest możliwe ,że \((m,n)=1\) czyli ,że są względnie pierwsze

(m,n)=1 to oczywiście NWD?

Tak to jest \(NWD\).
I uwaga do szczególnego \(\sqrt{10}\)Jak doszłeś do momentu , że \(10m^2=n^2\)w swoim i masz załozenie , że \(\left( n,m\right) =1\)to masz że prawa strona dzieli się przez 2 , czyli masz , że po lewej stronie liczb mających dzielniki dwójki jest nieparzysta liczba , po prawej zaś parzysta, czyli sprzeczmość