Wielomian

pawelkarawan · Post autor: **pawelkarawan** » 04 lut 2010, 19:22

Dla jakich wartosci parametru a i b liczba 1 jest potrojnym pierwiastkiem wielomianu W(x)= X^4 - 5x^3 + 9x^2 + ax +b

irena · Post autor: **irena** » 04 lut 2010, 19:48

Liczba 1 jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu, jeśli wielomian dzieli się bez reszty przez \((x-1)^3\).
W tym wypadku oznacza to, że \(W(x)=(x-1)^3\cdot\ Q(x)\), gdzie Q(x) to dwumian, czyli wielomian stopnia pierwszego.
\(W(x)=x^4-5x^3+9x^2+ax+b=(x-1)^3(x-2)+R(x)\), gdzie \(R(x)=(a+7)x+(b-2)\)

\(R(x)\) jest wielomianem zerowym (czyli wielomian W(x)dzieli się przez \((x-1)^3\) bez reszty), jeśli:
\(\begin{cases}a+7=0\\b-2=0 \end{cases} \\ \begin{cases}a=-7\\b=2 \end{cases}\)

pawelkarawan · Post autor: **pawelkarawan** » 04 lut 2010, 20:33

Dzieki, ale nadal nie wiem ską☻d sie wzieł iloczyn (x-2)(x-1)^3

pawelkarawan · Post autor: **pawelkarawan** » 04 lut 2010, 20:34

a dokladnie skad sie wzielo x-2

irena · Post autor: **irena** » 04 lut 2010, 21:01

Podzieliłam wielomian W(x) przez \((x-1)^3\), ale można to zrobić inaczej:

liczba 1 jest potrójnym pierwiastkiem W(x), jeśli \(W(x)=(x-1)^3\cdot\ Q(x)\). W tym wypadku Q(x)=x-p, gdzie p- liczba rzeczywista.

\(W(x)=x^4-5x^3+9x^2+ax+b=(x-1)^3(x-p)=\\(x^3-3x^2+3x-1)(x-p)=x^4-x^3p-3x^3+3x^2p+3x^2-3xp-x+p=\\=x^4+(-p-3)x^3+(3p+3)x^2+(-3p-1)x+p\\ \begin{cases}-p-3=-5\\3p+3=9\\-3p-1=a\\p=b \end{cases} \\ \begin{cases}p=2\\p=2\\a=-3\cdot2-1\\b=2 \end{cases} \\ \begin{cases}a=-7\\b=2 \end{cases}\)

pawelkarawan · Post autor: **pawelkarawan** » 05 lut 2010, 10:08

Juz wiem dziekuje ci bardzo