f.trygonometryczna

[widelec123]

Rozwiąż równanie:
\(sin^4 \frac{x}{2} + cos^4 \frac{x}{2}= \frac{5}{8}\) w przedziale \(<- \pi , \pi>\)

Niby rozwiązałem, ale mam pewne wątpliwości...

[Szimi10]

\(sin^4(\frac{x}{2})+cos^4(\frac{x}{2})=\frac{5}{8}\) w przedziale \(<-\pi;\pi>\)

Korzystać będziemy z wzorów:
\(sinx=2sin (\frac{x}{2}) \cdot cos(\frac{x}{2})\), co jest równoznaczne z tym: \(sin2x=2sinx \cdot cosx\)
\((a+b)^2= a^2+2ab+b^2\)
\(sin^2x+cos^2x=1\)

To liczymy:
\(sin^4(\frac{x}{2})+cos^4(\frac{x}{2})=\frac{5}{8}\)
\([sin^2(\frac{x}{2}) + cos^2(\frac{x}{2})]^2 - 2sin^2(\frac{x}{2}) \cdot cos^2(\frac{x}{2})=\frac{5}{8}\)
\(1- 2sin(\frac{x}{2})\cdot cos(\frac{x}{2})\cdot 2sin(\frac{x}{2}) \cdot cos(\frac{x}{2})\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{8}\)
\(-\frac{1}{2} sinx\cdot sinx = -\frac{3}{8} \ \ \ / \cdot (-2)\)
\(sin^2x=\frac{3}{4}\)
\(|sinx|=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \cup \ \ sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Teraz jeśli poprowadzimy prostą \(y=\frac{\sqrt{3}}{2}\) to przetnie ona wykres naszego sinusa w dwóch punktach (oczywiście w podanym przedziale). Podobnie jeśli poprowadzimy prostą \(y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Policzmy więc punkty przecięcia:
\(sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \Leftrightarrow \ \ x=\frac{\pi}{3} \ \ \cup \ \ x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi\)
\(sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \Leftrightarrow \ \ x=-\frac{\pi}{3} \ \ \cup \ \ x=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2}{3}\pi\)

Mamy nasze rozwiązanie: \(x=-\frac{2}{3}\pi \ \ \cup \ \ x=-\frac{\pi}{3} \ \cup \ \ x=\frac{\pi}{3} \ \ \cup \ \ x=\frac{2}{3}\pi\)

Prośba z mojej strony, jeśli rozwiązałeś jakieś zadanie i nie jesteś pewien czy dobrze, to zamieść również wynik. No chyba, że nie rozwiązałeś...

Pozdrawiam
Szymon.

[widelec123]

Oki:) następnym razem napisze. Miałem je rozwiązane, wynik mi wyszedł dobry, lecz nie byłem pewny co do samej metody rozwiązania danego równania.