równoległobok ABCD
: 03 lut 2010, 15:31
Udowodnij, że w równoległoboku ABCD zachodzi równość |AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=|AC|^2+|BD|^2
Narysuj równoległobok ABCD tak, żeby kąt rozwarty to kąt ABC. Nazwałam |AB|=|CD|=a, |BC|=|AD|=b.
Opuść wysokość na przedłużenie podstawy AB z punktu C oraz z punktu B na bok CD. E- punkt, w którym spada wysokość na przedłużenie boku AB, F- punkt, na który spada wysokość na bok CD. Przyjęłam |BE|=|CF|=k, wysokości |CE|=|BF|=h
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(|AC|^2=|AE|^2+|CE|^2 \Rightarrow |AC|^2=(a+k)^2+h^2\\|BD|^2=|DF|^2+|BF|^2 \Rightarrow |BD|^2=(a-k)^2+h^2\\|BC|^2=|BE|^2+|CE|^2 \Rightarrow b^2=k^2+h^2\\|AC|^2+|BD|^2=(a+k)^2+h^2+(a-k)^2+h^2=\\=a^2+2ak+k^2+h^2+a^2-2ak+k^2+h^2=2a^2+2h^2+2k^2=\\2a^2+2(h^2+k^2)=2a^2+2b^2=|AB|^2+|CD|^2+|BC|^2+|AD|^2\)