W trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|, | \angle C| = 120 \circ , wpisano okrąg, którego promień ma długość 3 cm. Oblicz długości boków trójkąta.
Bardzo proszę, aby ktos wytłumaczył mi to zadanie. Jest mi to niezbędne na czwartek;). Z góry bardzo dziękuję!
długość boków trójkata równoramiennego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
landziorek
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 22 mar 2009, 14:09
Narysuj trójkąt równoramienny ABC. Środek okręgu wpisanego w trójkąt nazwałam O. Poprowadź promienie okręgu do punktów styczności okręgu z bokami trójkąta. Punkty te (K na podstawie, M, N na ramionach) dzielą podstawę trójkąta na dwa równe odcinki. Nazwałam ich długość a. ((|AK|=|KB|=a). Czyli podstawa AB ma długość równą 2a. Punkty styczności z ramionami podzieliły ramiona na odcinki o długościach a i b. (|BM|=|AN|=a, |MC|=|NC|=b).
Równości tych odcinków, na które punkty styczności dzielą boki trójkąta wynika z równości odcinków stycznych. Można to też pokazać na podstawie przystawania trójkątów. Odcinek OA należy do dwusiecznej kąta BAC, bo środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta. Trójkąty AKO i ANO są przystające - trójkąty prostokątne, w których przeciwprostokątna jest wspólna, przyprostokątne |OK|=|ON|- promienie okręgu wpisanego.
Wysokość trójkąta (odcinek CK) dzieli na połowy podstawę trójkąta i dzieli na połowy kąt ACB.
Mamy zatem trójkąt prostokątny COM, w którym kąt OCM=\(60^o\), |OM|=3cm.
\(\frac{b}{3}=ctg60^o\\\frac{b}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\b=\sqrt{3}cm\)
\(\frac{3}{|OC|}=sin60^o\\\frac{3}{|OC|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\|OC|=\frac{6}{\sqrt{3}}\\|OC|=2\sqrt{3}cm\)
Mamy też trójkąt prostokątny CKB, w którym:
\(|KB|=a\\|BC|=a+b=a+\sqrt{3}\\|CK|=3+|OC|=3+2\sqrt{3}\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+(2\sqrt{3}+3)^2=(a+\sqrt{3})^2\\a^2+12+12\sqrt{3}+9=a^2+2a\sqrt{3}+3\\2a\sqrt{3}=12\sqrt{3}+18\ /:2\\a\sqrt{3}=6\sqrt{3}+9\ /\cdot\sqrt{3}\\3a=18+9\sqrt{3}\ /:3\\a=6+3\sqrt{3}\\\)
Podstawa trójkąta :
\(2a=12+6\sqrt{3}=6(2+\sqrt{3})cm\)
Ramię:
\(a+b=6+3\sqrt{3}+\sqrt{3}=6+4\sqrt{3}=2(3+2\sqrt{3})cm\)
Równości tych odcinków, na które punkty styczności dzielą boki trójkąta wynika z równości odcinków stycznych. Można to też pokazać na podstawie przystawania trójkątów. Odcinek OA należy do dwusiecznej kąta BAC, bo środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta. Trójkąty AKO i ANO są przystające - trójkąty prostokątne, w których przeciwprostokątna jest wspólna, przyprostokątne |OK|=|ON|- promienie okręgu wpisanego.
Wysokość trójkąta (odcinek CK) dzieli na połowy podstawę trójkąta i dzieli na połowy kąt ACB.
Mamy zatem trójkąt prostokątny COM, w którym kąt OCM=\(60^o\), |OM|=3cm.
\(\frac{b}{3}=ctg60^o\\\frac{b}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\b=\sqrt{3}cm\)
\(\frac{3}{|OC|}=sin60^o\\\frac{3}{|OC|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\|OC|=\frac{6}{\sqrt{3}}\\|OC|=2\sqrt{3}cm\)
Mamy też trójkąt prostokątny CKB, w którym:
\(|KB|=a\\|BC|=a+b=a+\sqrt{3}\\|CK|=3+|OC|=3+2\sqrt{3}\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+(2\sqrt{3}+3)^2=(a+\sqrt{3})^2\\a^2+12+12\sqrt{3}+9=a^2+2a\sqrt{3}+3\\2a\sqrt{3}=12\sqrt{3}+18\ /:2\\a\sqrt{3}=6\sqrt{3}+9\ /\cdot\sqrt{3}\\3a=18+9\sqrt{3}\ /:3\\a=6+3\sqrt{3}\\\)
Podstawa trójkąta :
\(2a=12+6\sqrt{3}=6(2+\sqrt{3})cm\)
Ramię:
\(a+b=6+3\sqrt{3}+\sqrt{3}=6+4\sqrt{3}=2(3+2\sqrt{3})cm\)