Ciągi

[monisiaxpp]

Witam.
Bardzo prosze o pomoc w zadaniach z matematyki. Niestety nigdy nie miałam i nie mam do tego głowy ;/

kartka z zadaniami nr 1
http://yfrog.com/0udsc0263axj
(pierwsze zadanie umiem a reszta.. nie ma mowy ;/)

kartka z zadaniami nr 2
http://yfrog.com/5edsc0264kj
Z góry BARDZO dziękuje !!

[irena]

2.
\(a_n=a_1+(n-1)\cdot\ r\)

\(a_6=a_1+5r\\a_4=a_1+3r\\a_5=a_1+4r\\a_13=a_1+12r\)

\(\begin{cases}a_1+5r-a_1-3r=1\\a_1+4r+a_1+12r=6 \end{cases} \\ \begin{cases}2r=1\\2a_1+16r=6 \end{cases} \\r=\frac{1}{2}\\2a_1+16\cdot\frac{1}{2}=6\\ \begin{cases}r=\frac{1}{2}a_1=-1 \end{cases} \\a_5=-1+4\cdot\frac{1}{2}\\a_5=1\)

[irena]

3.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: \(A=(x_1,\ y_1)\ i\ B=(x_2,\ y_2)\):

\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

Równanie prostej AB:
\(\frac{y+4}{x+2}=\frac{6+4}{4+2}\\\frac{y+4}{x+2}=\frac{10}{6}\\\frac{y+4}{x+2}=\frac{5}{3}\\3(y+4)=5(x+2)\\3y+12=5x+10\\5x-3y-2=0\)

lub w postaci kierunkowej:

\(3y+12=5x+10\\3y=5x-2\\y=\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}\)

[irena]

4.
W ciągu geometrycznym \(a_n=a_1\cdot\ q^{n-1}\)

\(a_3=a_1\cdot\ q^2\\a_7=a_1\cdot\ q^6\\\frac{a_7}{a_3}=\frac{a_1q^6}{a_1q^2}=q^4\\q^4=\frac{28}{7}\\q^4=4\\q=\sqrt[4]{4}\ \vee q=-\sqrt[4]{4}\\q_1=-\sqrt{2}\ \vee \ q_2=\sqrt{2}\)

\((-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2\\a_3=7\\a_1\cdot\ q^2=7\\a_1\cdot(\sqrt{2})^2=7\\a_1\cdot2=7\\a_1=\frac{7}{2}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{7}{2}\\q=-\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}a_1=\frac{7}{2}\\q=\sqrt{2} \end{cases}\)

[irena]

Z drugiej kartki:
1.
\(a_n=\frac{3n-4}{2n+3}\\a_{n+1}=\frac{3(n+1)-4}{2(n+1)+3}=\frac{3n-1}{2n+5}\\a_{n+1}-a_n=\frac{3n-1}{2n+5}-\frac{3n-4}{2n+3}=\frac{(3n-1)(2n+3)-(3n-4)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}=\\=\frac{6n^2+9n-2n-3-6n^2-15n+8n+20}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{17}{(2n+3)(2n+3)\)
Dla \(n \in N^+\) wyrażenie w mianowniku przyjmuje zawsze wartość dodatnią, więc dla każdej liczby \(n \in N^+:\ a_{n+1}-a_n=\frac{17}{(2n+5)(2n+3)}>0\), czyli ciąg jest rosnący.

[irena]

2.
Równanie prostej AB:
\(\frac{y+5}{x+2}=\frac{3+5}{-6+2}\\\frac{y+5}{x+2}=-2\\y+5=-2(x+2)\\y+5=-2x-4\\2x+y+9=0\)

Środek odcinka AB - punkt O(jego współrzędne są średnimi arytmetycznymi współrzędnych punktów A i B):
\(O=(\frac{-2-6}{2};\ \frac{-5+3}{2})=(-4,\ -1)\)

Symetralna odcinka AB to prosta przechodząca przez środek tego odcinka i prostopadła do prostej AB.
Równanie prostej prostopadłej do prostej AB ma postać: x-2y+C=0
\(-4-2\cdot(-1)+C=0\\C=2\)

Równanie symetralnej odcinka AB: x-2y+2=0.

[irena]

Zadanie 3. było na poprzedniej kartce.

4.
Nie ma na rysunku wskazanego odcinka x.

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego \(k=\frac{3}{1}=3\).

Stosunek pól podobnych figur jest równy kwadratowi skali podobieństwa między tymi figurami. Stosunek pól tych trójkątów jest więc równy \(k^2=3^2=9\)