Oblicz

[tanev]

liczby zespolone oblicz:
z=\(\frac{z+1}{z^2+1}\)

[irena]

\(z=\frac{z+1}{z^2+1}\\z^2 \neq -1 \Leftrightarrow z \neq i\\z(z^2+1)=z+1\\z^3+z=z+1\\z^3=1\\z=a+bi\\(a+bi)^3=1\\a^3+3a^2bi+3ab^2i^2+b^3i^3=a^3+3ab^2i-3ab^2-b^3i\\ \begin{cases}a^3-3ab^2=1\\3a^2b-b^3=0 \end{cases} \\b(3a^2-b^2)=0 \Leftrightarrow b=0 \vee b^2=3a^2\\a^3-9a^3=1\\a^3=-\frac{1}{8}\\a=-\frac{1}{2}\\b^2=\frac{3}{4} \Leftrightarrow b=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee b=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \begin{cases}a=1\\b=0 \end{cases} \vee \begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \vee \begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\)

[tanev]

to na pewno jest koniec zadania? nie powinno podstawiac się pod \(z ->(x+yi)\) czyli \((x+yi)^3=1\)?

[irena]

Już poprawiłam. Przepraszam

[tanev]

\(\begin{cases}a=1\\b=0 \end{cases}\), jak to wyliczyłaś??:P

[irena]

Wstaw za b zero do pierwszego równania z układu równań. Otrzymasz a=1. A jedną z możliwości b=0 otrzymasz z drugiego równania tego układu.