Dany jest trójkąt ABC. Przez punkt B prowadzimy prostą k równoległą do AC. Dwusieczna kąta BAC przecina odcinek BC w punkcie D, a prostą k w punkcie E. Zrób rysunek. Trójkąt ABE jest równoramienny.
Udowodnij, że |BD|/|CD|=|AB|/|AC|.
Mając dane |AB|=x, |AC|=y i |BC|=z, znajdź długości odcinków BD i CD.
trójkąt ABC
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Oznacz na rysunku \(\angle BAD= \angle DAC=\alpha\) (bo AD zawiera się w dwusiecznej).
trójkąt ABE jest równoramienny, czyli |AB|=|BE|, czyli:
\(\angle BAD= \angle BED=\alpha\).
Oznacz \(\angle ADC= \angle BDE=\beta\) (kąty wierzchołkowe).
Trójkąty ADC i BDE są podobne (cecha (KK)).
Stąd:
\(\frac{|DB|}{|BE|}=\frac{|CD|}{|AC|}\), ale \(|BE|=|AB|\), czyli \(\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{|AB|}{|AC|}\)
trójkąt ABE jest równoramienny, czyli |AB|=|BE|, czyli:
\(\angle BAD= \angle BED=\alpha\).
Oznacz \(\angle ADC= \angle BDE=\beta\) (kąty wierzchołkowe).
Trójkąty ADC i BDE są podobne (cecha (KK)).
Stąd:
\(\frac{|DB|}{|BE|}=\frac{|CD|}{|AC|}\), ale \(|BE|=|AB|\), czyli \(\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{|AB|}{|AC|}\)