Cześć, zaczynam robić zadania z badania różniczkowalności funkcji dwóch zmiennych, ale nie jestem pewien czy załapałem schemat rozwiązywania tych zadań. Nie chce mi się wszystkiego przepisywać to może podam link(o ile można): http://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyk ... taw7&styl=
Nie rozumiem przykładu b) a konkretnie od tego momentu: "Pochodne istnieją w (0,0), ale by sprawdzić czy są ciągłe, musimy obliczyć czy ich granice przy (x,y)→(0,0) są równe wartościom w (0,0)." po co sprawdzać czy są ciągłe? Nie można od razu przejść do następnego punktu, tj. z definicji ułożyć różniczkę? Po za tym, skoro wyszło, że pochodne cząstkowe nie są ciągłe to nie wyklucza to różniczkowalności? Proszę o wyjaśnienie
Dobra, jeszcze raz. Funkcja jest różniczkowalna w punkcie jeśli funkcja jest ciągła i wszystkie pochodne cząstkowe istnieją i są w nim ciągłe. Rozwiązanie ma dwie części: najpierw sprawdzam różniczkowalność poza punktem (0,0), potem sprawdzam różniczkowalność w nim.
1) funkcja jest wymierna, więc jest na pewno ciągła poza (0,0) -> liczę pochodne cząstkowe poza punktem, są funkcjami wymiernymi, stąd na pewno są ciągłe poza punktem (0,0) => f. jest różniczkowalna poza punktem (0,0)
2) Dalej, sprawdzam, czy pochodne cząstkowe istnieją w punkcie (0,0) czyli liczę z definicji, wychodzi jakis tam wynik, np 2, sprawdzam potem czy są ciągłe licząc granice(poza punktem(0,0) nie musialem tego robic, bo bylo widac, ze są ciągłe), wychodzi, że granica nie istnieje bo zależy od kąta. ALE, jeśli by istniała(CZYLI MUSIAŁABY WYJŚĆ WARTOŚĆ 2? taka jak w punkcie (0,0)) to sprawdzam, czy \(\Lim_{h\to 0} \frac{r_x0 (h)}{||h||} = 0\) No, ale tutaj ta granica nie wychodzi, czyli pochodne cząstkowe nie istnieją, to po co liczyć dalej?
EDIT: Nie musimy jeszcze liczyć na początku, czy funkcja(nie pochodne cząstkowe) jest ciągła w (0,0)?
