wartość oczekiwana gry

[Martynka301]

Prawdopodobieństwo trafienia 'trójki'= w przybliżeniu 0,017650404 'czwórki"= 0,000968620 'piatki'= 0,000018450 'szóstki'=0,000000072 w dużym lotku ( skreślamy 6 spośród 49 liczb)

a) przyjmijmy że wygrywamy jedynie wtedy gdy trafimy 'szóstke'. Cena jednego zakładu jest równa 1 zł. Jaka powinna być wysokość wygranej aby to była gra sprawiedliwa ?

b) przyjmijmy że cena jednego zakładu jest równa 1 zł. Trafiając 'trójkę' wygrywamy 10 zł. czwórkę 100 zł, piatkę 1000 zł. jaka powinna być wysokośc wygranej w przypadku trafienia 'szóstki' aby gra była sprawiedliwa?

c) przyjmijmy że trafiając 'trójkę' wygrywamy 100 zł, czwórkę 1000 zł, piątkę 10000 a szóstkę 10 000 000. jaka powinna byc cena jednego zakładu aby gra była sprawiedliwa. ?

[radagast]

Prawdopodobieństwo trafienia 'trójki'= w przybliżeniu 0,017650404 'czwórki"= 0,000968620 'piatki'= 0,000018450 'szóstki'=0,000000072 w dużym lotku ( skreślamy 6 spośród 49 liczb)

a) przyjmijmy że wygrywamy jedynie wtedy gdy trafimy 'szóstke'. Cena jednego zakładu jest równa 1 zł. Jaka powinna być wysokość wygranej aby to była gra sprawiedliwa ?

gra jest sprawiedliwa jeśli jej wartość oczekiwana wynosi 0.
W tym przypadku, jeśli przez x oznaczymy wysokość wygranej to wartość oczekiwana wynosi
\(EX=0,000000072 \cdot x-1 \cdot (1-0,000000072)=0,000000072 \cdot x-0,999999928\)
\(EX=0 \iff x= \frac{0,999999928}{0,000000072}\approx 13888888\)

[radagast]

Prawdopodobieństwo trafienia 'trójki'= w przybliżeniu 0,017650404 'czwórki"= 0,000968620 'piatki'= 0,000018450 'szóstki'=0,000000072 w dużym lotku ( skreślamy 6 spośród 49 liczb)

b) przyjmijmy że cena jednego zakładu jest równa 1 zł. Trafiając 'trójkę' wygrywamy 10 zł. czwórkę 100 zł, piatkę 1000 zł. jaka powinna być wysokośc wygranej w przypadku trafienia 'szóstki' aby gra była sprawiedliwa?

\(p\)-prawdopodobieństwo przegranej
\(p=1-0,000000072-0,000018450-0,000968620-0,017650404=0,981362454\)

\(EX=10 \cdot 0,017650404+100 \cdot 0,000968620+1000 \cdot 0,000018450+ x \cdot 0,000000072-1 \cdot p=\\
0,17650404+0,0968620+0,018450+x \cdot 0,000000072-0,981362454=0 \iff x\approx9577034\)

[Panko]

a) \(p\) ---wysokość wygranej , wtedy
\(0= (p-1) \cdot \frac{1}{ {49 \choose 6}} +(0-1) \cdot \frac{ {49 \choose 6}- 1}{ {49 \choose 6}}\)
stąd gra jest sprawiedliwa gdy :\(p= {49 \choose 6}\)

[radagast]

Prawdopodobieństwo trafienia 'trójki'= w przybliżeniu 0,017650404 'czwórki"= 0,000968620 'piatki'= 0,000018450 'szóstki'=0,000000072 w dużym lotku ( skreślamy 6 spośród 49 liczb)

c) przyjmijmy że trafiając 'trójkę' wygrywamy 100 zł, czwórkę 1000 zł, piątkę 10000 a szóstkę 10 000 000. jaka powinna byc cena jednego zakładu aby gra była sprawiedliwa. ?

\(EX=10 \cdot 0,017650404+100 \cdot 0,000968620+1000 \cdot 0,000018450+ 0,72-x \cdot 0,981362454 =\\
0,17650404+0,0968620+0,018450+0,72-x \cdot 0,981362454=0 \iff x\approx 1,03\)