Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
wieczorek91
- Rozkręcam się
- Posty: 53
- Rejestracja: 23 sty 2010, 15:23
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Punkty A=(2,7),C=(8,15) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu równym 25.Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
\(|AC|=\sqrt{(8-2)^2+(15-7)^2}=\sqrt{36+64}=10\)
\(\frac{1}{2}|AC|\cdot|BD|=25\\\frac{1}{2}\cdot10\cdot|BD|=25\\|BD|=5\)
Punkt przecięcia przekątnych:
\(O=(\frac{2+8}{2};\ \frac{7+15}{2})=(5;\ 11)\)
Równanie prostej AC:
\(\frac{y-7}{x-2}=\frac{15-7}{8-2}\\3(y-7)=4(x-2)\\4x-3y+13=0\)
Prosta BD (prostopadła do AC i przechodzi przez punkt O:
\(3x+4y+C=0\\3\cdot5+4\cdot11+C=0\\C=-59\\3x+4y-59=0\)
Punkt B=(a, b). Odległość punktu B (i punktu D) od prostej AC musi być równa połowie przekątnej BD, czyli ma wynosi 2,5.
\(d=\frac{|4a-3b+13|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2,5\\\frac{|4a-3b+13|}{5}=2,5\\|4a-3b+13|=12,5\\4a-3b+13=12,5\ \vee 4a-3b+13=-12,5\)
Współrzędne punktu B spełniają równanie prostej BD, czyli 3a+4b-59=0.
\(\begin{cases}4a-3b=-0,5\ /\cdot4\\3a+4b=59\ /\cdot3 \end{cases} \ \vee \begin{cases}4a-3b=-25,5\ /\cdot4\\3a+4b=59\ /\cdot3 \end{cases} \\ \begin{cases}16a-12b=-2\\9a+12a=177 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}16a-12b=-102\\9a+12b=177 \end{cases} \\ \begin{cases}a=7\\b=9,5 \end{cases} \ \vee \begin{cases}a=3\\b=\frac{25}{6} \end{cases}\)
\(B=(7;\ \frac{19}{2});\ D=(3;\ \frac{25}{6})\)
\(\frac{1}{2}|AC|\cdot|BD|=25\\\frac{1}{2}\cdot10\cdot|BD|=25\\|BD|=5\)
Punkt przecięcia przekątnych:
\(O=(\frac{2+8}{2};\ \frac{7+15}{2})=(5;\ 11)\)
Równanie prostej AC:
\(\frac{y-7}{x-2}=\frac{15-7}{8-2}\\3(y-7)=4(x-2)\\4x-3y+13=0\)
Prosta BD (prostopadła do AC i przechodzi przez punkt O:
\(3x+4y+C=0\\3\cdot5+4\cdot11+C=0\\C=-59\\3x+4y-59=0\)
Punkt B=(a, b). Odległość punktu B (i punktu D) od prostej AC musi być równa połowie przekątnej BD, czyli ma wynosi 2,5.
\(d=\frac{|4a-3b+13|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2,5\\\frac{|4a-3b+13|}{5}=2,5\\|4a-3b+13|=12,5\\4a-3b+13=12,5\ \vee 4a-3b+13=-12,5\)
Współrzędne punktu B spełniają równanie prostej BD, czyli 3a+4b-59=0.
\(\begin{cases}4a-3b=-0,5\ /\cdot4\\3a+4b=59\ /\cdot3 \end{cases} \ \vee \begin{cases}4a-3b=-25,5\ /\cdot4\\3a+4b=59\ /\cdot3 \end{cases} \\ \begin{cases}16a-12b=-2\\9a+12a=177 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}16a-12b=-102\\9a+12b=177 \end{cases} \\ \begin{cases}a=7\\b=9,5 \end{cases} \ \vee \begin{cases}a=3\\b=\frac{25}{6} \end{cases}\)
\(B=(7;\ \frac{19}{2});\ D=(3;\ \frac{25}{6})\)