Proszę również o rozwiązanie tego zadania.
Czy
\(a_n=2^{6n+1}+3^{2n+2}\)
przedstawia liczbę podzielną przez 11.
podzielność liczb
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
To zadanie jest typowe do zastosowania indukcji. Ale jeśli nie było, to spróbujmy inaczej:
\(2^{6n+1}+3^{2n+2}=2\cdot2^{6n}+9\cdot3^{2n}=2\cdot64^n+9\cdot9^n\)
Rozpiszmy najpierw pierwszy składnik, a w zasadzie jego część:
\(64^n=(55+9)^n= {n \choose 0} \cdot55^n\cdot9^0+ {n \choose 1} \cdot55^{n-1}\cdot9^1+ {n \choose 2} \cdot55^{n-2}\cdot9^2+...+ {n \choose n-1\cdot55^1\cdot9^{n-1}} + {n \choose n} \cdot55^0\cdot9^n=\\=55^n+ {n \choose 1} \cdot55^{n-1}\cdot9+ {n \choose 2} \cdot55^{n-2}\cdot9^2+...+ {n \choose n-2} \cdot55^2\cdot9^{n-2}+ {n \choose n-1} \cdot55\cdot9^{n-1}+9^n\)
Zauważ, że \(55=11\cdot5\), czyli wszystkie składniki tej sumy, poza ostatnim, dzielą się przez 11. Sumę tę możemy więc zapisać: \(11k+9^n\), gdzie \(k \in N^+\).
\(2\cdot64^n+9\cdot9^n=2(11k+9^n)+9\cdot9^n=11\cdot2k+2\cdot9^n+9\cdot9^n=\\=11\cdot2k+9^n(2+9)=11\cdot2k+11\cdot9^n=11\cdot(2k+9^n)\).
Oczywiście, liczba \((2k+9^n) \in N^+\), czyli liczba \(2^{6n+1}+3^{2n+2}\) dzieli się przez 11.
\(2^{6n+1}+3^{2n+2}=2\cdot2^{6n}+9\cdot3^{2n}=2\cdot64^n+9\cdot9^n\)
Rozpiszmy najpierw pierwszy składnik, a w zasadzie jego część:
\(64^n=(55+9)^n= {n \choose 0} \cdot55^n\cdot9^0+ {n \choose 1} \cdot55^{n-1}\cdot9^1+ {n \choose 2} \cdot55^{n-2}\cdot9^2+...+ {n \choose n-1\cdot55^1\cdot9^{n-1}} + {n \choose n} \cdot55^0\cdot9^n=\\=55^n+ {n \choose 1} \cdot55^{n-1}\cdot9+ {n \choose 2} \cdot55^{n-2}\cdot9^2+...+ {n \choose n-2} \cdot55^2\cdot9^{n-2}+ {n \choose n-1} \cdot55\cdot9^{n-1}+9^n\)
Zauważ, że \(55=11\cdot5\), czyli wszystkie składniki tej sumy, poza ostatnim, dzielą się przez 11. Sumę tę możemy więc zapisać: \(11k+9^n\), gdzie \(k \in N^+\).
\(2\cdot64^n+9\cdot9^n=2(11k+9^n)+9\cdot9^n=11\cdot2k+2\cdot9^n+9\cdot9^n=\\=11\cdot2k+9^n(2+9)=11\cdot2k+11\cdot9^n=11\cdot(2k+9^n)\).
Oczywiście, liczba \((2k+9^n) \in N^+\), czyli liczba \(2^{6n+1}+3^{2n+2}\) dzieli się przez 11.