Dobrać parametr tak żeby funkcja była ciągła.

[lucas89]

Cześć mam takie zadanie:
Dobrać \(a\in R\) tak, żeby funkcja f(x)=\(\begin{cases} \frac{\sqrt{1+x} -1}{x} dla x \ge -1, x \neq 0 \\a, dla x = 0 \end{cases}\) była ciągła na \([-1;+ \infty)\)

Obliczam sobie zgodnie z definicją wartość funkcji w zerze czyli
\(f(0) = a\) a potem sprawdzam granice...ale no właśnie jakie?

[radagast]

Dobrać \(a\in R\) tak, żeby funkcja f(x)=\(\begin{cases} \frac{\sqrt{1+x} -1}{x} dla x \ge -1, x \neq 0 \\a, dla x = 0 \end{cases}\) była ciągła na \([-1;+ \infty)\)

\(\Lim_{x\to 0 } f(x)= \Lim_{x\to 0 } \frac{\sqrt{1+x} -1}{x}=\Lim_{x\to 0 } \frac{(\sqrt{1+x} -1)(\sqrt{1+x} +1)}{x(\sqrt{1+x} +1)}=\Lim_{x\to 0 } \frac{1}{\sqrt{1+x} +1}= \frac{1}{2}\)

a więc musi być \(a= \frac{1}{2}\)

[lucas89]

Dziękuję. Mam schemat w głowie, żeby liczyć jednostronne granice więc nie sądziłem, że w tym przypadku to wystarczy.

A jeszcze jak mam \(\Lim_{x\to 1+} \frac{x^{2} + (b-1)x -b}{x-1} = 1\)
To jak dobrać taki parametr b? Bo coś mi nie wychodzi. Rozwiązując równanie \(\frac{x^{2} + (b-1)x -b}{x-1} = 1\) licząc delte chyba idę w złą stronę....

[radagast]

A jeszcze jak mam \(\Lim_{x\to 1+} \frac{x^{2} + (b-1)x -b}{x-1} = 1\)
To jak dobrać taki parametr b? Bo coś mi nie wychodzi. Rozwiązując równanie \(\frac{x^{2} + (b-1)x -b}{x-1} = 1\) licząc delte chyba idę w złą stronę....

rzeczywiście raczej nie tak...

Ale
wystarczy zauważyć ,że \(x^{2} + (b-1)x -b = (x-1)(x+b)\) i dalej już łatwo