forum.zadania.info

Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego
tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰. Wiedząc że podstawę graniastosłupa
można wpisać w koło o promieniu 2√3 oblicz objętość tego
graniastosłupa proszę o szybkie rozwiązanie z wzorami i rysunkiem z góry dziękuję

Kąt opisany w zadaniu to kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy (sześciokąta foremnego).
a- krawędź podstawy
H- wysokość graniastosłupa
Promień koła opisanego na podstawie, o długości \(2\sqrt{3}\) ma taką samą długość, jak bok sześciokąta, czyli \(a=2\sqrt{3}\). Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość dwa razy dłuższą od boku sześciokąta.

Wysokość graniastosłupa (H), średnica koła opisanego na podstawie (\(4\sqrt{3}\)) i dłuższa przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny z kątem danym w zadaniu.

\(\frac{H}{2a}=tg60^o\\\frac{H}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}\\H=12\)
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{12\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}\)

Objętość:
\(V=P_p\cdot\ H\\V=18\sqrt{3}\cdot12\\V=216\sqrt{3}\)