Witam mam problem z zadaniem:
Wyznaczyć równanie płaszczyzny w punkcie\((-1, 0, \sqrt{3})\)stycznej do kuli \(x^2 + y^2 + z^2 \le 4\)
Wiem jak jest wzór na płaszczyznę styczną (pochodne cząstkowe umiem), ale nie wiem jak z tego równania kuli wyciągnąć potrzebne f = (x0, y0)
Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do kuli
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
\(S=(0,0,0)\) ---środek kuli , \(P=( -1,0, \sqrt{3} )\) ,\(r=2\) --promień kuli
wektor normalny do szukanej płaszczyzny to wektor \(\vec{SP}= [ -1,0, \sqrt{3} ]\)
stąd szukana płaszczyzna to \(-1 \cdot x+0 \cdot y+ \sqrt{3 }\cdot z+d=0\)
szukana jest wartość \(d\) ?
Punkt \(S=(0,0,0)\) odległy jest od tej płaszczyzny o \(r=2\)
korzystamy ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny \(2=\frac{ |-1 \cdot 0+0 \cdot 0+ \sqrt{3} \cdot 0+d | }{ \sqrt{(-1)^2+0^2+( \sqrt{3} )^2} }\) stąd \(4= |d| \iff d=4 \vee d=-4\)
Poprawna wartość to \(d=-4\)
Płaszczyzna :\(-1 \cdot x+0 \cdot y+ \sqrt{3 }\cdot z-4=0\)
I faktycznie punkt \(P=( -1,0, \sqrt{3} )\) należy do tej płaszczyzny bo \(-1 \cdot (-1)+0 \cdot 0+ \sqrt{3 }\cdot\sqrt{3 } -4=0\)
wektor normalny do szukanej płaszczyzny to wektor \(\vec{SP}= [ -1,0, \sqrt{3} ]\)
stąd szukana płaszczyzna to \(-1 \cdot x+0 \cdot y+ \sqrt{3 }\cdot z+d=0\)
szukana jest wartość \(d\) ?
Punkt \(S=(0,0,0)\) odległy jest od tej płaszczyzny o \(r=2\)
korzystamy ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny \(2=\frac{ |-1 \cdot 0+0 \cdot 0+ \sqrt{3} \cdot 0+d | }{ \sqrt{(-1)^2+0^2+( \sqrt{3} )^2} }\) stąd \(4= |d| \iff d=4 \vee d=-4\)
Poprawna wartość to \(d=-4\)
Płaszczyzna :\(-1 \cdot x+0 \cdot y+ \sqrt{3 }\cdot z-4=0\)
I faktycznie punkt \(P=( -1,0, \sqrt{3} )\) należy do tej płaszczyzny bo \(-1 \cdot (-1)+0 \cdot 0+ \sqrt{3 }\cdot\sqrt{3 } -4=0\)
Re: Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do kuli
Dzięki wielkie!
A da się to zrobić jakoś nie geometrią analityczną, a jakoś pochodnymi? Bo właśnie na zajęciach mam pochodne mieszane, funkcje wielu zmiennych itd., więc trochę dziwne, żeby to zadanie rozwiązywać tym sposobem.
A da się to zrobić jakoś nie geometrią analityczną, a jakoś pochodnymi? Bo właśnie na zajęciach mam pochodne mieszane, funkcje wielu zmiennych itd., więc trochę dziwne, żeby to zadanie rozwiązywać tym sposobem.
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Pewnie ,że można
Jeżeli tylko powierzchnia \(z=f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0,y_0,z_0)\) płaszczyznę styczną to ma ona równanie \(z-z_0=f'_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)+f'_y(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)\)
Równanie powierzchni ( sfery ) : \(z^2=4-x^2-y^2\)
góra sfery czyli \(z \ge 0\) opisana jest funkcją : \(z=f(x,y)= \sqrt{4-x^2- y^2}\)
\((x_0,y_0,z_0)=(-1,0, \sqrt{3})\)
\(f'_x(x,y)=-\frac{x}{ \sqrt{4-x^2- y^2} }\) , \(f'_x(x_0,y_0)=-\frac{-1}{ \sqrt{4-1- 0^2} }=\frac{1}{ \sqrt{3} }\)
\(f'_y(x,y)=-\frac{y}{ \sqrt{4-x^2- y^2} }\) , \(f'_x(x_0,y_0)=-\frac{0}{ \sqrt{4-1- 0^2} }=0\)
podstawiamy do równania płaszczyzny :\(z- \sqrt{3}=\frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot (x-(-1)) +0 \cdot (y-0)\)
co po drobnym przekształceniu daje : \(x- \sqrt{3}z+4=0\)
Jeżeli tylko powierzchnia \(z=f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0,y_0,z_0)\) płaszczyznę styczną to ma ona równanie \(z-z_0=f'_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)+f'_y(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)\)
Równanie powierzchni ( sfery ) : \(z^2=4-x^2-y^2\)
góra sfery czyli \(z \ge 0\) opisana jest funkcją : \(z=f(x,y)= \sqrt{4-x^2- y^2}\)
\((x_0,y_0,z_0)=(-1,0, \sqrt{3})\)
\(f'_x(x,y)=-\frac{x}{ \sqrt{4-x^2- y^2} }\) , \(f'_x(x_0,y_0)=-\frac{-1}{ \sqrt{4-1- 0^2} }=\frac{1}{ \sqrt{3} }\)
\(f'_y(x,y)=-\frac{y}{ \sqrt{4-x^2- y^2} }\) , \(f'_x(x_0,y_0)=-\frac{0}{ \sqrt{4-1- 0^2} }=0\)
podstawiamy do równania płaszczyzny :\(z- \sqrt{3}=\frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot (x-(-1)) +0 \cdot (y-0)\)
co po drobnym przekształceniu daje : \(x- \sqrt{3}z+4=0\)