Calka oznaczona z pierwiastkiem

[bobobob]

\(\int_{2}^{ 6 } \sqrt{17x^2 - 14}dx\)

[RozbrajaczZadaniowy]

Można liczyć metodą współczynników nieoznaczonych:

\(I: \ \int_{}^{ } \sqrt{17x^2 - 14}dx= \int_{}^{} \frac{17x^2 - 14}{\sqrt{17x^2 - 14}} dx= (Ax+B)\sqrt{17x^2 - 14}+\lambda \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{17x^2 - 14}}dx\)

Obustronna pochodna:

\(\frac{17x^2 - 14}{\sqrt{17x^2 - 14}}= A\sqrt{17x^2 - 14}+(Ax+B) \frac{34x}{2\sqrt{17x^2 - 14}} + \lambda \cdot \frac{1}{\sqrt{17x^2 - 14}}\)

Mnożę stronami przez wyrażenie \(\sqrt{17x^2 - 14}\):

\(17x^2-14=A(17x^2-14)+ (Ax+B) \cdot 17x+\lambda
\\17x^2-14=17Ax^2-14A+17Ax^2+17Bx+\lambda
\\17x^2-14=34Ax^2+17Bx-14A+\lambda\)

I teraz z równości wielomianów:

\(\begin{cases} 17=34A \\ 17B=0 \\ -14A+\lambda=-14 \end{cases} \ \to \ \begin{cases} A= \frac{1}{2} \\ B=0 \\ \lambda= -7 \end{cases}\)

Wstawiam do \(I:\) i mamy:

\(\int_{}^{} \sqrt{17x^2 - 14}dx= \frac{1}{2}x \sqrt{17x^2 - 14}-7 \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{17x^2 - 14}}dx=
\\=\frac{1}{2}x \sqrt{17x^2 - 14}- \frac{7}{ \sqrt{17} } \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{x^2 - \frac{14}{17} }}dx=
\\=\frac{1}{2}x \sqrt{17x^2 - 14}- \frac{7}{ \sqrt{17} } ln|x + \sqrt{x^2- \frac{14}{17} } |+C\)

Teraz całka oznaczona:

\(\frac{1}{2}x \sqrt{17x^2 - 14}- \frac{7}{ \sqrt{17} } ln|x + \sqrt{x^2- \frac{14}{17} } | \ |^6_2=
\\=3 \sqrt{598}- \frac{7}{ \sqrt{17} } ln|6 + \sqrt{ \frac{598}{17} } |-( \sqrt{54}- \frac{7}{ \sqrt{17} } ln|2 + \sqrt{ \frac{54}{17} } | )\)

Można by było to jeszcze porządkować ale myślę, że nie ma takiej potrzeby.