Dane jest równanie \(x^3 -(2m+3)x^2 -5x=0\) z niewiadomą x i parametrem m.
a)Wykaż, że dla dowolnego \(m \in R\) równanie ma 3 pierwiastki, z których dwa mają różne znaki.
b)Wyznacz wartość m tak, aby jeden pierwiastek równanie był średnia arytmetyczną pozostałych.
funkcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)
\(x(x^2-(2m+3)x-5)=0\)
Jednym z pierwiastków jest x=0.
\(x(x^2-(2m+3)x-5)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x62-(2m=3)x-5=0\\\Delta=(2m+3)^2+20>0\) dla każdej wartości liczby m. Czyli trójmian \(x^2-(2m+3)x-5=0\) ma dwa różne pierwiastki. Sprawdzę znak iloczynu pierwiastków:
\(x_1\cdot\ x_2=\frac{-5}{1}=-5<0\). Iloczyn dwóch pierwiastków trójmianu jest ujemny, czyli pierwiastki te są liczbami przeciwnych znaków.
Reasumując: równanie ma 3 różne pierwiastki (0 i dwa różnych znaków)
b)
Ponieważ 2 pierwiastki równania są różnych znaków, więc średnią arytmetyczną tych dwóch pierwiastków jest trzeci pierwiastek - liczba 0.
\(\frac{x_1+x_2}{2}=0\\\frac{\frac{2m+3}{1}}{2}=0\\2m+3=0\\m=-\frac{3}{2}\)
\(x(x^2-(2m+3)x-5)=0\)
Jednym z pierwiastków jest x=0.
\(x(x^2-(2m+3)x-5)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x62-(2m=3)x-5=0\\\Delta=(2m+3)^2+20>0\) dla każdej wartości liczby m. Czyli trójmian \(x^2-(2m+3)x-5=0\) ma dwa różne pierwiastki. Sprawdzę znak iloczynu pierwiastków:
\(x_1\cdot\ x_2=\frac{-5}{1}=-5<0\). Iloczyn dwóch pierwiastków trójmianu jest ujemny, czyli pierwiastki te są liczbami przeciwnych znaków.
Reasumując: równanie ma 3 różne pierwiastki (0 i dwa różnych znaków)
b)
Ponieważ 2 pierwiastki równania są różnych znaków, więc średnią arytmetyczną tych dwóch pierwiastków jest trzeci pierwiastek - liczba 0.
\(\frac{x_1+x_2}{2}=0\\\frac{\frac{2m+3}{1}}{2}=0\\2m+3=0\\m=-\frac{3}{2}\)