Geometria, Trójkąty Okręgi.

[MrsFox]

Cześć Wszystkim!
Mam problem ze zrozumieniem i zrobieniem tych zadań. Gdyby ktoś mógłby mi jest wytłumaczyć i na prosty język ukazać jak coś takiego zrobić byłabym mega wdzięczna.


Więc do rzeczy, pierwsze zadanie:
Dany jest trójkąt prostokątny, przyprostokątne mają długości 8 i 15 cm. Mamy obliczyć wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną.


Punkt 2:
Czy trójkąt o długościach boków:
A) 3, 7, 8
B) √3 , 2, √7
jest trójkątem ostrokątnym, prostokątnym czy rozwartokątnym?


TRZY : OBLICZ:
Odległość środka ciężkości w trójkącie prostokątnym od wierzchołka kąta prostego, jeśli przyprostokątne mają długości
16 m i 12 m.

I ostatnie:
Dane są okręgi:
o(O,R) i o(S,r) .
Mamy określić ich wzajemne położenie, jeżeli |OS|=2, R=10, r=12


Z Góry Bardzo Dziękuję Wszystkim za pomoc i pewnie będę dopytywała o wszystko

[Panko]

3. Ulokuj ten trójkąt w układzie współrzędnych prostokątnych tak,że wierzchołek kąta prostego to punkt \((0,0)\)
Dwa pozostałe wierzchołki \(\Delta\) to \((12,0)\) , \((0,16)\)

Środek ciężkości trójkąta to punkt \(S=( \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} )\) , gdzie kolejno \((x_1,y_1)\) ,... to kolejne wierzchołki \(\Delta\)

Stąd \(S=( \frac{12+0+0}{3},\frac{0+0+16}{3} ) = ( \frac{12}{3},\frac{16}{3} )\)

Jego odległość od wierzchołka kąta prostego czyli punktu \((0,0)\) to \(d= \sqrt{4^2+(\frac{16}{3})^2 }\)

[dadam]

Ad 1. Niech \(c\)- przeciwprostokątna, \(h\)- wysokość spuszczona na przeciwprostokątną c

Z tw. Pitagorasa:
\(8^2+15^2=c^2\)
\(c^2=289\)

\(c=17\)

\(P \Delta = \frac{8 \cdot 15}{2} =60\)

Z drugiej strony \(P \Delta = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h\)

Porównując te dwa wzory mamy:

\(60= \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h\)

\(h= \frac{120}{17}\)

[radagast]

I ostatnie:
Dane są okręgi:
o(O,R) i o(S,r) .
Mamy określić ich wzajemne położenie, jeżeli |OS|=2, R=10, r=12


Z Góry Bardzo Dziękuję Wszystkim za pomoc i pewnie będę dopytywała o wszystko

|OS|=r-R
zatem styczne wewnętrznie

[dadam]

ad.2 Bierzesz 2 najkrótsze boki, czyli w naszym wypadku 3 i 7 i liczysz:

\(3^2+7^2=x^2\)
\(9+49=x^2\)
\(x= \sqrt{58}\)

i sprawdzasz czy ten trzeci najdłuższy podany bok jest od x większy (wówczas \(\Delta\)-rozwartokatny), mniejszy (wówczas \(\Delta\)-ostrokątnykatny), czy równy (wówczas \(\Delta\)-prostokątny)


W naszym przypadku \(8> \sqrt{58}\)
trójkąt jest zatem rozwartokatny

[dadam]

2b) \(( \sqrt{3})^2+2^2=( \sqrt{7})^2\)

\(\Delta\)- jest zatem prostokątny

[MrsFox]

I ostatnie:
Dane są okręgi:
o(O,R) i o(S,r) .
Mamy określić ich wzajemne położenie, jeżeli |OS|=2, R=10, r=12


Z Góry Bardzo Dziękuję Wszystkim za pomoc i pewnie będę dopytywała o wszystko

|OS|=r-R
zatem styczne wewnętrznie

O Mój Boże patrze i ręce załamuje, skąd ? jak ?

[MrsFox]

3. Ulokuj ten trójkąt w układzie współrzędnych prostokątnych tak,że wierzchołek kąta prostego to punkt \((0,0)\)
Dwa pozostałe wierzchołki \(\Delta\) to \((12,0)\) , \((0,16)\)

Środek ciężkości trójkąta to punkt \(S=( \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} )\) , gdzie kolejno \((x_1,y_1)\) ,... to kolejne wierzchołki \(\Delta\)

Stąd \(S=( \frac{12+0+0}{3},\frac{0+0+16}{3} ) = ( \frac{12}{3},\frac{16}{3} )\)

Jego odległość od wierzchołka kąta prostego czyli punktu \((0,0)\) to \(d= \sqrt{4^2+(\frac{16}{3})^2 }\)

Domyślam się że wszystko jest jeszcze z jakiś wzorów, gdybym mogła prosić o dogłębne szczegóły

[radagast]

O Mój Boże patrze i ręce załamuje, skąd ? jak ?

|OS|=r-R to jest po prostu warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej okręgów
Powinni to powiedzieć w 3 klasie gimnazjum, jeśli nie powiedzieli , na pewno jest w podręczniku.

[MrsFox]

O Mój Boże patrze i ręce załamuje, skąd ? jak ?

|OS|=r-R to jest po prostu warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej okręgów
Powinni to powiedzieć w 3 klasie gimnazjum, jeśli nie powiedzieli , na pewno jest w podręczniku.

i nie trzeba nic liczyć ? Matematyka to moja największa pięta Achillesa niestety do mnie z tym trzeba jak do ułomnego.

[dadam]

Ja bym zrobiła tak 3)

\(12^2+16^2=c^2\)

\(c^2=400\)

\(c=20\) - przeciwprostokątna

Jak opiszesz na tym trójkącie okrąg to przeciwprostokątna będzie jego średnicą. Zatem promień okręgu r=10.

Jak sobie narysujesz ten promień od wierzchołka kata prostego to będzie to jedna ze środkowych tego trójkata.
Wiadomo, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

Podziel 10 na 3 części i weź 2 części. To będzie poszukiwana odległość

\(d=2 \cdot \frac{10}{3}=6 \frac{2}{3}\)

[radagast]

i nie trzeba nic liczyć ? Matematyka to moja największa pięta Achillesa niestety do mnie z tym trzeba jak do ułomnego.

No nie, trzeba policzyć : 12-10=2

[MrsFox]

i nie trzeba nic liczyć ? Matematyka to moja największa pięta Achillesa niestety do mnie z tym trzeba jak do ułomnego.

No nie, trzeba policzyć : 12-10=2

Hahahah, dobra wyszłam na totalnego łosia, przepraszam
Boże muszę się wziąć bo niedługo matura.

[Galen]

Zad.3
Oblicz
Odległość środka ciężkości w trójkącie prostokątnym od wierzchołka kąta prostego, jeśli przyprostokątne mają długości
16 m i 12 m.
Masz dane przyprostokątne,to oblicz przeciwprostokątną.
\(c^2=16^2+12^2=256+144=400\\c=20\)
Środek D przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ABC.
Z tego punktu S jest jednakowa odległośc do A i do B i do C.
\(|SA|=|SB|=|SC|= \frac{1}{2} \cdot 20=10\)
Odcinek SC jest środkową trójkąta,bo łączy wierzchołek C se środkiem S przeciwległego boku.
Środkowe przecinają się w punkcie,który dzieli każdą z nich w stosunku \(2:1\) licząc od wierzchołka.
Podziel środkową CS na 3 równe części i dwie z nich to będzie odległość o którą pytasz.
\(x= \frac{2}{3} \cdot 10= \frac{20}{3}=6 \frac{2}{3}m\)