dystrybuanta

[denatlu]

1. Niech funkcja \(F: \rr \to \rr\) będzie dana wzorem:

\(F(x)= \begin{cases}A, x<0 \\ Bx^2, 0 \le x<1 \\ \frac{x^2}{2} -x+C, 1 \le x < 2 \\ D, x \ge 2 \end{cases}\). Dobrać tak parametry aby funkcja była dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej.



2. niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o gęstości

\(f(x)= \begin{cases} ke^{-kx}, x \ge 0 \\ 0, x<0\end{cases}\)
Wyznaczyć gęstości zmiennych losowych \(W=(X-1)^2\)


Dystrybuanta zmiennej \(X\) wynosi w takim razie:

\(F(x)= \begin{cases}0, x<0 \\ -e^{-kx}, x \ge 0 \end{cases}\)

czyli, że: \(P(W<x)=P((X-1)^2<x)=P(1-\sqrt{x}<X<\sqrt{x}+1)=...\) i dalej nie wiem

Uprzejmie proszę o pomoc

[radagast]

1. Niech funkcja \(F: \rr \to \rr\) będzie dana wzorem:

\(F(x)= \begin{cases}A, x<0 \\ Bx^2, 0 \le x<1 \\ \frac{x^2}{2} -x+C, 1 \le x < 2 \\ D, x \ge 2 \end{cases}\). Dobrać tak parametry aby funkcja była dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej.

F musi być ciągła i \(\Lim_{x\to \infty } F(x)=1\)
zatem:
\(D=1\\C=1\\B= \frac{1}{2} \\A=0\)

[denatlu]

radagast, mogłabyś powiedzieć czy napisać jak dochodzisz do takiego wyniku? Jak to jest zrobione?

[radagast]

Skoro \(\Lim_{x\to \infty } F(x)=1\) to D=1 (oczywiste, prawda ?)
Teraz wiadomo już, że \(\Lim_{x\to 2^+} F(x)=1\)
no to musi być \(\Lim_{x\to 2^-} F(x)=\Lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{2} -x+C=C=1\)
stąd \(C=1\) itd...

[denatlu]

D już oczywiste. a przy \(\Lim_{x\to 1 } Bx^2=1\) będzie \(B=1\) z tego co napisałaś moim zdaniem. Jak to jest, bo nie ogarniam. Umiem liczyć ten warunek przechodząc z gęstości ale tu nie wiem.

[radagast]

\(F(1)= \frac{1}{2}-1+1= \frac{1}{2}\)
No to \(\Lim_{x\to 1^-} F(x)= \Lim_{x\to 1^-} Bx^2=\frac{1}{2}\) No to \(B= \frac{1}{2}\)

[denatlu]

ale wzór jest przecież \(\frac{1}{x^2}-1+C\) więc \(F(1)=\frac{1}{2}-1+1=\frac{1}{2}\) jest trochę kosmiczne. Możesz napisać słownie jak to się robi, wtedy może bym to zrozumiał

[radagast]

\(F(x)= \begin{cases}A, x<0 \\ Bx^2, 0 \le x<1 \\ \frac{x^2}{2} -x+C, 1 \le x < 2 \\ D, x \ge 2 \end{cases}\)
no to
\(F(1)= \frac{1^2}{2} -1+C=C- \frac{1}{2} =1- \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\)
Co Ty w tym widzisz kosmicznego ?

[denatlu]

Mam wrażenie, że się bawisz w kotka i myszkę.

No bo patrz. W dystrybuancie ostatni wzór jest równy sumie wszystkich poprzednich i finalnie daje \(1\), czyli \(D=1\).

\(F(1)=C-\frac{1}{2}\) to jest wiadomo.
Dlaczego za \(C\) podstawiasz sobie \(1\)? Gdzie je wyliczyłaś?

ja wiem też, że \(F(2)-F(1)=\frac{1}{2}\) ale czy to ma znaczenie w tym zadaniu? Tego nie pokazałaś to nie wiem...

[radagast]

tu:

Skoro \(\Lim_{x\to \infty } F(x)=1\) to D=1 (oczywiste, prawda ?)
Teraz wiadomo już, że \(\Lim_{x\to 2^+} F(x)=1\)
no to musi być \(\Lim_{x\to 2^-} F(x)=\Lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{2} -x+C=C=1\)
stąd \(C=1\) itd...

[denatlu]

Czy to nie jest tak, że to ma być po prostu funkcja ciągła?

[radagast]

takie było pierwsze zdanie, które napisałam w tym temacie

[Panko]

2. rachunek ogólny ( daje się implementować do 3.)
Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej \(W=(X-1)^2\) , \(X\) typ ciągły
Oznaczam \(F_W ,f_W\) dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej \(W\)
Jeżeli \(w>0\) to \(F_W(w)=P(W<w)=P( (X-1)^2<w) =P( 1- \sqrt{w}<X< \sqrt{w}+1 )=\)
\(=P(X<\sqrt{w}+1 ) -P ( X<1- \sqrt{w} ) =F_X( \sqrt{w}+1 )- F_X( 1- \sqrt{w} )\)

Stąd \(f_W(w)=\frac{d}{dw}F_W(w)= \frac{d}{dw}( F_X( \sqrt{w}+1 )- F_X( 1- \sqrt{w} ) ) =\)
\(= f_X( \sqrt{w}+1 ) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{w} } -f_X( 1- \sqrt{w} ) \cdot ( - \frac{1}{2 \sqrt{w} })=\frac{ f_X( \sqrt{w}+1 ) +f_X( 1- \sqrt{w} ) }{2 \sqrt{w} }\)

Łącznie \(f_W(w)=\begin{cases} \frac{ f_X( \sqrt{w}+1 ) +f_X( 1- \sqrt{w} ) }{2 \sqrt{w} } &\text{dla } w>0\\ 0&\text{dla } w \le 0\end{cases}\)

[denatlu]

A nie jest tak że zgubiłeś tam jedynkę?

\(P(1-\sqrt{x} <X < 1+\sqrt{x})=P(X<1+ \sqrt{x})+P(1-\sqrt{x}< X)=\)
\(=P(X<1+ \sqrt{x})+1-P(X\le1-\sqrt{x})\)

[Panko]

Wszystkie znaczki są na swoich miejscach . ( Ale zawsze jest to ale )