W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cos kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.
Tw. Pitagorasa:
\(a^2\) + \(y^2\)= \((2a)^2\)
y = \(\sqrt{3a^2}\)
Tw. Pitagorasa:
(\(\frac{a}{2})^2\)+\(x^2\)=(\((\sqrt{3a^2})^2\))
x=\(\frac{ \sqrt{11a^2} }{2}\)
\(\cos \frac{ \alpha }{2} = \frac{x}{y} = \frac{ \sqrt{33} }{6}\)
\(\frac{ \sqrt{33} }{6} = \sqrt{ \frac{1+ \cos \alpha }{2} }\)
\(\cos \alpha + \sqrt{2 \cos \alpha } = \frac{5}{6}\)
Tu jest reszta rozwiązania: http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=24&t=63523
Wynik się nie zgadza z odpowiedzią: \(\cos \alpha = \frac{7}{15}\)
Bardzo proszę o wyjaśnienie, co w moim rozumowaniu jest nie tak. Pozdrawiam!
Proszę o sprawdzenie zadania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
h- wysokość ściany bocznej opuszczona na podstawę a
\(h^2+(\frac{1}{2}a)^2=(2a)^2\\h^2=4a^2-\frac{1}{4}a^2=\frac{15}{4}a^2\\h=\frac{\sqrt{15}}{2}a\)
y- wysokość ściany bocznej opuszczona na ramię 2a
\(\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot2ak\\k=\frac{1}{2}h=\frac{\sqrt{15}}{4}a\)
\(sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{15}}{4}a}=\frac{2}{\sqrt{15}}\\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{4}{15}\\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}\)
\(cos\alpha=cos^2{\frac{\alpha}{2}}-sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{11}{15}-\frac{4}{15}=\frac{7}{15}\)
\(h^2+(\frac{1}{2}a)^2=(2a)^2\\h^2=4a^2-\frac{1}{4}a^2=\frac{15}{4}a^2\\h=\frac{\sqrt{15}}{2}a\)
y- wysokość ściany bocznej opuszczona na ramię 2a
\(\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot2ak\\k=\frac{1}{2}h=\frac{\sqrt{15}}{4}a\)
\(sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{15}}{4}a}=\frac{2}{\sqrt{15}}\\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{4}{15}\\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}\)
\(cos\alpha=cos^2{\frac{\alpha}{2}}-sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{11}{15}-\frac{4}{15}=\frac{7}{15}\)
