Zad. 1. : Oblicz odległosc wierzchołka szescianu o krawędzi długości 3 od przekatnej szescianu, do ktorego nie nalezy ten wierzchołek.
Zad. 2 : Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, ktorego kąt ostry ma miarę 60 stopni. Oblicz długość przekątnych graniastosłupa, wiedząc, że wszystkie jego krawędzie mają długość równą 4.
Zad. 3. : Długość krawedzi prostopadłoscianu i długości jego przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 5. Oblicz sumę długości wszystkich krawedzi prostopadłościanu.
Zad. 4. : Podstawa graniastosłupa prostego o wysokości 2 pierwiastekz 6 jest romb. Przekatne graniastosłupa mają długość 7 o 8. Oblicz długość boku rombu.
1.
Narysuj tę przekątną. Wybierz punkt, który jest wierzchołkiem, a nie należy do przekątnej sześcianu. Połącz ten punkt z kończ\ami tej przekątnej. Otrzymasz trójkąt, w której boki to: krawędź sześcianu, przekątna jednej ze ścian i przekątna sześcianu. Mają one długości: 3, \(3\sqrt{2}\) i \(3\sqrt{3}\). Trójkąt ten jest prostokątny. Szukana odległość (x) to wysokość tego trójkąta poprowadzona do przeciwprostokątnej. Jej długość można obliczyć z pola tego trójkąta:
2.
Przekątne rombu podstawy mają długości 4 i \(4\sqrt{3}\).
Długości przekątnych graniastosłupa oznaczmy x, y.
Każda z przekątnych tworzy wraz z krawędzią boczną i jedną z przekątnych rombu trójkąt prostokątny.
Z twierdzenia Pitagorasa: \(4^2+4^2=x^2\\x^2=32\\x=4\sqrt{2}\)
\(4^2+(4\sqrt{3})^2=y^2\\y^2=64\\y=8\)
Przekątne tego graniastosłupa mają długości \(4\sqrt{2}\) i \(64\).
3.
a,b,c- długości krawędzi, p- długość przekątnej prostopadłościanu