Graniastosłupy!!

[kaaja123]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań...)

Zad. 1. : Oblicz odległosc wierzchołka szescianu o krawędzi długości 3 od przekatnej szescianu, do ktorego nie nalezy ten wierzchołek.

Zad. 2 : Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, ktorego kąt ostry ma miarę 60 stopni. Oblicz długość przekątnych graniastosłupa, wiedząc, że wszystkie jego krawędzie mają długość równą 4.

Zad. 3. : Długość krawedzi prostopadłoscianu i długości jego przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 5. Oblicz sumę długości wszystkich krawedzi prostopadłościanu.

Zad. 4. : Podstawa graniastosłupa prostego o wysokości 2 pierwiastekz 6 jest romb. Przekatne graniastosłupa mają długość 7 o 8. Oblicz długość boku rombu.

[irena]

1.
Narysuj tę przekątną. Wybierz punkt, który jest wierzchołkiem, a nie należy do przekątnej sześcianu. Połącz ten punkt z kończ\ami tej przekątnej. Otrzymasz trójkąt, w której boki to: krawędź sześcianu, przekątna jednej ze ścian i przekątna sześcianu. Mają one długości: 3, \(3\sqrt{2}\) i \(3\sqrt{3}\). Trójkąt ten jest prostokątny. Szukana odległość (x) to wysokość tego trójkąta poprowadzona do przeciwprostokątnej. Jej długość można obliczyć z pola tego trójkąta:

\(P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot3\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{3}\cdot\ x\\x=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)

2.
Przekątne rombu podstawy mają długości 4 i \(4\sqrt{3}\).
Długości przekątnych graniastosłupa oznaczmy x, y.
Każda z przekątnych tworzy wraz z krawędzią boczną i jedną z przekątnych rombu trójkąt prostokątny.
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(4^2+4^2=x^2\\x^2=32\\x=4\sqrt{2}\)


\(4^2+(4\sqrt{3})^2=y^2\\y^2=64\\y=8\)

Przekątne tego graniastosłupa mają długości \(4\sqrt{2}\) i \(64\).

3.
a,b,c- długości krawędzi, p- długość przekątnej prostopadłościanu

b=a+5, c=a+10, p=a+15

\(p^2=a^2+b^2+c^2\\(a+15)^2=a^2+(a+5)^2+(a+10)^2\\a^2+30a+225=a^2+a^2+10a+25+a^2+20a+100\\2a^2=100\\a^2=50\\a=5\sqrt{2}\\b=5\sqrt{2}+5\\c=5\sqrt{2}+10\)

Suma wszystkich krawędzi:

\(S=4a+4b+4c=20\sqrt{2}+20\sqrt{2}+20+20\sqrt{2}+40=60\sqrt{2}+60=60(1+\sqrt{2})\)

4.
Patrz zadanie 2.
x, y- długości przekątnych rombu.

\((2\sqrt{6})^2+x^2=7^2\\x^2+24=49\\x^2=25\\x=5\)

\((2\sqrt{6})^2+y^2=8^2\\y^2+24=64\\y^2=40\\y=2\sqrt{10}\)