Znaleźć postać zwartą wzoru rekurencyjnego.

[tukan]

Witam,
Mamy taką rekurencję:
\(A_0 = 0 \\
A_1 = 1 \\
A_2 = 2 \\
A_n = A_{n-3} + 3A_{n-2} + A_{n-1}\)

I ja będę to chciał najpierw tak zapisać:
\(A_n = A_{n-3} + 3A_{n-2} + A_{n-1} + [n=1] + [n=2]\)
Następnie:
\(\sum_{n\in \ZZ} A_nx^n = x^3A(X) + x^2A(X) + xA(X) + x + x^2\)
\(A(x) = \frac{x+x^2}{1-x^3-x^2-x}\)
Tzn, że mamy już fcję tworzącą dla tego ciągu rekurencyjnego. Teraz powinniśmy zwinąć ten ułamek w szereg. W tym celu Należy rozłożyć na czynniki proste, - ale jak rozłożyć na te czynniki proste, jeśli nie ma rzeczywistych pierwiastków ?

[Panko]

\(A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\sum_{n=3}^{ \infty } ( a_{n-1}+3a_{n-2}+a_{n-3} )x^n\)\(=\) \(x+2x^2+ x\sum_{n=3}^{ \infty } a_{n-1}x^{n-1}+ 3x^2\sum_{n=3}^{ \infty } a_{n-2}x^{n-2} +x^3\sum_{n=3}^{ \infty } a_{n-3}x^{n-3} =\) \(x+2x^2+ x( A(x)-a_0-a_1x) + 3x^2( A(x)-a_0)+x^3A(x)\) \(\\)
\(x+x^2=A(x)( 1-x-3x^2-x^3)\)
\(A(x)= \frac{x(x+1)}{ 1-x-3x^2-x^3 }\)

\(A(x)= \frac{x(x+1)}{ -(x+1)(x^2+2x-1) } = \frac{-x}{ x^2+2x-1} = \frac{-x}{ (x+ \sqrt{2} +1)( x- \sqrt{2} +1)}\)
Drobna różnica ( chyba ,że z błędem)

[tukan]

Nie, no pewnie. Mam błąd rachunkowy (drobny). Masz dobrze.
Mamy fcję tworzącą dla ciągu A. Możesz teraz pokazać, jak przejść do szeregu, ażeby potem wyciągnąć postac zwartą?

[Panko]

\(A(x)= \frac{-x}{ (x+ \sqrt{2} +1)(x- \sqrt{2} +1) } = \frac{a}{ x+ \sqrt{2} +1} + \frac{b}{ x- \sqrt{2} +1}\)

Z porównania jest \(a=-\frac{1}{4}( 2+ \sqrt{2} )\) , \(\\)\(\\)\(b= \frac{1}{4}( \sqrt{2} -2 )\)

Czyli \(F(x)= \frac{ -\frac{1}{4}( 2+ \sqrt{2} ) }{ x+ \sqrt{2} +1} + \frac{ \frac{1}{4}( \sqrt{2} -2 ) }{ x- \sqrt{2} +1}= \frac{ -\frac{1}{4}( 2+ \sqrt{2} ) }{ \sqrt{2} +1} \cdot \frac{1}{ 1- (-\frac{x}{\sqrt{2} +1})}+ \frac{ \frac{1}{4}( \sqrt{2} -2 ) }{ 1- \sqrt{2} } \cdot \frac{1}{ 1- (-\frac{x}{1-\sqrt{2} })} =\)

\(= \frac{ -\frac{1}{4}( 2+ \sqrt{2} ) }{ \sqrt{2} +1} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } ( -\frac{x}{\sqrt{2} +1} )^n+ \frac{ \frac{1}{4}( \sqrt{2} -2 ) }{ 1- \sqrt{2} } \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } ( -\frac{x}{1-\sqrt{2} } )^n =\)

\(= \sum_{n=0}^{ \infty }( \frac{ -\frac{1}{4}( 2+ \sqrt{2} ) }{ \sqrt{2} +1} \cdot ( -\frac{1}{\sqrt{2} +1} )^n + \frac{ \frac{1}{4}( \sqrt{2} -2 ) }{ 1- \sqrt{2} } \cdot ( -\frac{1}{1-\sqrt{2} } )^n )x^n\)

czyli \(A_n = \frac{ -\frac{1}{4}( 2+ \sqrt{2} ) }{ \sqrt{2} +1} \cdot ( -\frac{1}{\sqrt{2} +1} )^n + \frac{ \frac{1}{4}( \sqrt{2} -2 ) }{ 1- \sqrt{2} } \cdot ( -\frac{1}{1-\sqrt{2} } )^n\)

czyli \(A_n = -\frac{ \sqrt{2} }{4} \cdot ( -\frac{1}{\sqrt{2} +1} )^n + \frac{ \sqrt{2} }{4} \cdot ( -\frac{1}{1-\sqrt{2} } )^n\)
Sprawdziłem fizycznie ,że z powyższego jest \(A_0=0, A_1=1\) ale za poprawność w tym tłoku znaczków nie ręczę.

[tukan]

OK

Pokaż mi jeszcze jak mam zwinąć do postaci zwartej coś takiego:
\(\frac{1}{2(-1+\sqrt{2}-x)} - \frac{1}{2(1+\sqrt{2} + x)}\)
Tylko opisz kroki co robisz.