forum.zadania.info

W trójkącie ABC mamy dane: |AC| = \sqrt{3} i |\sphericalangle ACB| = 90 stopni. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą, która utworzyła z bokiem AC kąt 60stopni i przecięła bok AB w punkcie D tak, że |AD| : |DB| = 1 : 3.
a) Wykonaj rysunek.
b) Oblicz długość boków AB i BC oraz długość odcinka CD.

Oznaczyłam |AD|=a, |DB|=3a, |CD|=x, kąt CAB = \(\alpha\), kąt CBA=\(90^o-\alpha\)

Z trójkąta CDA:
\(\frac{x}{sin\alpha}=\frac{a}{sin60^o}\\x=\frac{2a\sqrt{3}sin\alpha}{3}\)

Z trójkata CBD:
\(\frac{x}{sin(90^o-\alpha)}=\frac{3a}{sin30^o}\\\frac{2a\sqrt{3}sin\alpha}{3cos\alpha}=6a\\2\sqrt{3}tg\alpha=18\\tg\alpha=3\sqrt{3}\)

W trójkącie ABC:
\(tg\alpha=\frac{|BC|}{|AC|}\\\frac{|BC|}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\\|BC|=9\)

\(|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2\\|AB|^2=3+81\\|AB|=2\sqrt{21}\\|AD|=\frac{1}{4}|AB|\\a=|AD|=\frac{\sqrt{21}}{2}\\|DB|=\frac{3\sqrt{21}}{2}\)

\(tg\alpha=3\sqrt{3}\\\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=3\sqrt{3}\\sin\alpha=3\sqrt{3}cos\alpha\\27cos^2\alpha+cos^\alpha=1\\cos^2\alpha=\frac{1}{28}\\sin^2\alpha=\frac{27}{28}\\sin\alpha=\frac{3\sqrt{21}}{14}\)

\(\frac{a}{sin60^o}=\frac{x}{sin\alpha}\\x\ sin60^o=a\ sin\alpha\\x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{21}}{14}\\x\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{4}\\x=\frac{9}{2\sqrt{3}}\\x=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

\(sin^2\alpha =\frac{27}{28 }\)
Powinien być:
\(sin \alpha = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{7} }\)
Wtedy wszystko wychodzi gites
Poprawny wynik ICDI czyli naszego x to \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
Pozdro

Z jakiego zbioru zadań jest to zadanie ?