forum.zadania.info

ile jest liczb całkowitych dodatnich będącymi wielokrotnościami liczby 2013 ma dokładnie 2013 różnych dodatnich dzielników (do dzielników liczby zaliczamy 1 i tę liczbę).

\(2013=3\cdot11\cdot61\)

Liczba 2013 ma więc (1+1)(1+1)(1+1)=8
dzielników

Każda wielokrotność liczby 2013 ma liczbę dzielników będących wielokrotnością liczby 8.
Nie istnieje więc liczba naturalna, będąca wielokrotnością liczby 2013 mająca 2013 dzielników.

Ogólnie:
Każda całkowita dodatnia liczba n może być zapisana w sposób jednoznaczny jako iloczyn potęg różnych liczb pierwszych.

Jeśli
\(n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot...\cdot p_i^{k_i}\)
to liczba dzielników naturalnych liczby n jest równa
\((k_1+1)(k_2+1)\cdot...\cdot(k_i+1)\)

Od kiedy to liczba będąca wielokrotnością innej ma liczbe dzielników będącą wielokrotnością liczby dzielnikoe pierwszej liczby? 27 jest wielokrotnością 9, ale 27 ma 3 dzielniki, a 9 - 2, a 2 i 3 są względnie pierwsze.
Teraz rozwiązanie:
Dobry jest natomiast szor na liczbę dzielników. 2013 ma 3 dzielniki bedące liczbami pierwszymi: 61, 11, 3.
We wzorze na l. dzielnikow pod każde "(k+1)" podstawmy "x". Od razu widać, że dla kn>0 mamy x>1, a że operujemy w tym zadaniu liczbami całkowitymi, to k (więc i x) musi być całkowite nieujemne. Zatem z tzw. zasady skwantowania mamy, że skoro x>1, to x>=2
Aby dzielników było 2013, to musimy mieć x1=3, x2=11 i x3=61, więc k1=2, k2=10, k3=60 (przepraszam, ale piszę z telefonu i nawet jak jest opcja, to nie zapisuję tutaj indeksu dolnego). Muszą być dokładnie 3 różne pierwsze dzielniki liczby, której chcemy znaleźć, bo inaczej mamy jeszcze x4>1, a wtedy liczba dzielnikow ma w faktoryzacji, czyli rozkladzie na iloczyn liczb pierwszych conajmniej 4 czynniki.
Teraz, gdy to jasne, musimy przyporządkować dzielnikom pierwszym liczby 2013 wykładniki 2, 10, 60. Możemy to zrobić na 6 sposobów (losowanie bez zwracania). Istnieje więc 6 takich liczb.