funkcje trygonometryczne cd.

[paluszek-19]

1. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = \(\frac{ \sqrt{-x^2 +\pi^2} }{2sin2x - 1}\)
2. Wiadomo, że \(x \in ( \frac{\pi}{2},\pi)\), \(y \in (\pi, \frac{3\pi}{2}\)oraz sinx = 1/2, siny = -2/3. Wykaż, że \(sin (x+y) < \frac{ \sqrt{2} }{3}\)
3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(sinx = \frac{2m - 6}{2 - m}\) ma rozwiązanie.
4. Oblicz log(3 na dole) tg 7/6 pi odp: -1/2

[irena]

1.
\(-x^2+\pi^2 \ge 0\\x^2 \le \pi^2 \Leftrightarrow x \in <-\pi;\ \pi>\)

\(2sin2x-1 \neq 0\\sin2x \neq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x \neq \frac{\pi}{6}+2k\pi \wedge 2x \neq \frac{5}{6}\pi+2k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{12}+k\pi \wedge x \neq \frac{5}{12}\pi+k\pi\)

\(x \in <-\pi;\ \pi> \setminus \left\{\frac{\pi}{12};\ \frac{5}{12}\pi;\ -\frac{11}{12}\pi;\ -\frac{7}{12}\pi \right\}\)

[irena]

2.
Jeśli \(x \in (\frac{\pi}{2};\ \pi)\ \wedge sinx=\frac{1}{2} \Rightarrow cosx=-\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Jeśli \(y \in (\pi;\ \frac{3}{2}\pi) \wedge siny=-\frac{2}{3} \Rightarrow cosy=-\sqrt{1-(-\frac{2}{3})^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}\)

\(sin(x+y)=sinx\ cosy+siny\ cosx=\\=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{5}}{3})-\frac{2}{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{5}}{6}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}\)

Trzeba porównać liczby \(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}\) i \(\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{6}\),
czyli liczby \(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\) i \(2\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{3}-\sqrt{5}<2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}<2\sqrt{2}=\sqrt{8}\). Czyli \(sin(x+y)<\frac{\sqrt{2}}{3}\)

[irena]

3.
\(sinx=\frac{2m-6}{2-m}\\m\neq 2\ \wedge -1 \le \frac{2m-6}{2-m} \le 1\)

\(m \neq 2 \wedge \frac{2m-6}{2-m} \ge -1 \wedge \frac{2m-6}{2-m} \le 1\\m \neq 2 \wedge (2m-6)(2-m) \ge -(2-m)^2 \wedge (2m-6)(2-m) \le (2-m)^2\\m \neq 2 \wedge -m^2+6m-8 \ge 0 \wedge -3m^2+14m-16 \le 0\\m \neq 2 \wedge m \in <2;\ 4> \wedge m \in ((-\ \infty ;\ 2>) \cup (\frac{8}{3} \infty ))\\m \in (\frac{8}{3};\ 4>\)

Sprawdź jeszcze, czy się gdzieś nie pomyliłam

[irena]

4.
\(log_3{tg\frac{7}{6}\pi}=log_3{tg\frac{\pi}{6}}=log_3{\frac{\sqrt{3}}{3}}=log_3{3^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\)

[paluszek-19]

zad 1

Przepisze dziedzinę ze zbiorku \(D= <-\pi,\pi> - {- \frac{11\pi}{12}, - \frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\). Nie wiem skąd oni wzięli te ujemne, nie wiem czy dobrze nazywam tutaj argumenty??

[paluszek-19]

zad. 3

Ty rozpatrzyłaś dziedzinę, mam tu na myśli to m różne od 2. Dziwi mnie czemu oni w zbiorze tego nie zrobili.

[irena]

1.
Dobrze jest w odpowiedzi- ja zapomniałam, że tam okreś jest \(\pi\), a nie \(2\pi\).

\(\frac{\pi}{12}-\pi=-\frac{11}{12}\pi\\\frac{5}{12}\pi-\pi=-\frac{7}{12}\pi\)
i te dwie liczby też trzeba "wyrzucić" z dziedziny. Poprawiam.