Strona 1 z 1
ekstremum
: 19 sty 2010, 13:08
autor: agata0987
Moze mi ktos wytłumaczyc na tym przykładzie
\(y=4x-x^2\) wyznaczanie ekstremum funkcji? poprosze po kolei co sie robi, najwiekszy problem mam z warunkiem dostatecznym. Pomocy
Z góry dziekuje
: 19 sty 2010, 15:38
autor: crocens
Zaczynamy od dziedziny funkcji. W tym przypadru \(x \in R\)
następnie liczymy pochodną tej funkcji.
\(f'(x)=(4x-x^2)' = (4x)'-(x^2)' = 4-2x\)
Ustalamy kiedy pochodna jest dodatnia a kiedy ujemna i wyznaczamy jej miejsca zerowe.
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4-2x = 0
-2x=-4
x=2
f'(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty , 2)
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x \in (2, +\infty)
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x=2\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie sie pochodnej w punkcie. Dodatkowo punkt ten musi należeć do dziedziny funkcji.
Warunkiem wystarczającym jest zmiana znaku pochodnej "wokół" tego punktu
Z tego wynika, iż funkcja ta posiada ekstremum w punkcie x=2 i jest to maksimum.